Bir torbaya, 3 adet kart konur. Bunlardan birinin iki yüzüde beyazdır, birinin iki yüzüde siyahtır, birinin ise bir yüzü beyaz bir yüzü siyahtır. Rastgele seçilen bir kartın, gördüğümüz yüzü siyah olduğuna göre, diğer yüzünün beyaz olma olasılığı nedir?

Elimizdeki bu kart ya iki yüzü de siyah olan karttır, ya da bir yüzü siyah, diğer yüzü beyaz olan karttır. Dolayısıyla elimizdeki kartın diğer yüzünün beyaz olma olasılığı 1/2'dir.

1/3

davincinin dediği gibi 1/3

Neden 1/3?

Bir kere iki yüzü de beyaz olan kart artık devre dışı, çünkü elimizdeki kartın o kart olmadığını biliyoruz. Artık o kart olasılık hesabına girmez.

Elimizdeki gördüğümüz yüzü siyah olan kartın diğer yüzünün beyaz olma olasılığı soruluyor. Bu olasılık mümkün durumların sayısıyla hesaplanır. Mümkün durum sayısı kaçtır?

1) Elimizdeki kart iki yüzü de siyah olan karttır
2) Elimizdeki kart bir yüzü siyah diğer yüzü beyaz olan karttır

... başka bir ihtimal yoktur

Olasılık da mümkün durum sayısının tersidir: 1/2

Sanırım olayı ikiye bölerek incelemek gerek.

birincisi çektiğimiz kartın bir yüzünün siyah olma olasılığı nedir?
Cevap:2/3

ikincisi bir yüzü siyah olan kartın ikinci yüzünün beyaz olma olasılığı nedir?
cevap:1/3+2/3*1/2=2/3

o halde yanıt 2/3 tür...

ama emin değilim...

Seçilen kartın bir yüzü siyah ise, geride kalan iki kartdan yalnız birisinin bir veya iki yüzü siyahdır.
Her iki tarafı da beyaz olan kart elimine edilmiştir.
Geride yalnız iki kart kalmıştır.

Onların diğer yüzünün beyaz olma şansı yüzde 50'dir.

HACI

Rasgele seçilen bir kartın,görüğümüz yüzünün siyah olma ihtimali "2/3"

2 kart var,"1/2" ihtimal de diğer yüzün beyaz olma şansa;

2/3x1/2=1/3

Diye düşünmüştüm ben,ama yanlış da olabilir tabi

Bu olasılık artık elimine edilmiş durumda. İlk seçim yapılmış, sorulan olasılık artık farklı bir olasılık: elimizdeki kartın diğer yüzünün rengi...

sorulan olasılığın içine ilk seçim olasılığı da dahildir.
Remat'ın dediği gibi ilk seçim 2/3 tür. yani seçilen kartın bir yüzünün siyah olma olasılığı.

Bundan sonra elimizdeki kartın ikinci yüzünün siyah mı beyaz mı olduğu sorusu gündeme gelir.
Bu da şöyle hesaplanabilir kanaatindeyim.

her şeyden önce bir yüzü siyah olan bir kartın ikinci yüzünün beyaz olma şartı tüm diğer şartlardan bağımsız olarak 1/3'tür.
Daha sonra ilk seçim olasılığı gündeme gelir. bu da 2/3'tür.
elimizdeki kartın ikinci yüzünün beyaz olma olasılığı ilk seçim olasığının yarısı kadardır. yani 2/3*1/2 bu da =2/6=1/3
bunu da ilk bulduğumuz 1/3 ile toplamamız gerekiyor diye düşünüyorum (emin olmadığım nokta budur) o zaman 1/3+1/3=2/3'tür.

Rastgele seçilen bir kartın, gördüğümüz yüzü siyah olduğuna göre, diğer yüzünün beyaz olma olasılığı nedir?

Bunun gerçekleşmesi için bir yüzü siyah diğer yüzü siyah olan kartın seçilmiş olması gerekir. Bunun olasılığı da 1/3'tür. Bunun tartışılacak bir yeri yok.

%50

isteyen evde 3 karton kesip boyayarak deneyebilir

cevap 1/3

Evet söylediğin gibiyse 1/2,soruyu yanlış anlamışım o zaman.

Rastgele seçilen bir kartın, gördüğümüz yüzü siyah olduğuna göre, diğer yüzünün beyaz olma olasılığı nedir?

Hızlıca okuyup burayı "biri siyah diğeri beyaz" gibi algıladım.

fazla pinpiriklenip gereksiz bir 1/3 olasılığı hesaplamışım demek ki.. cevabın 1/2 olmadığından emindim.. kiiiih kiiiih kiiiih

Dehri yapma abicim olur mu öyle şey. Bir kere siyah yüzü gördüysen iki yüzü beyaz olan kartı boşver gitsin. Elindeki kartın arkası ya siyahtır ya beyaz.

davinci:

Soru şöyle olsaydı haklı olacaktın:

Bu üç kartın bulunduğu torbadan bir yüzü siyah, öteki yüzü ise beyaz olan kartın çekilme olasılığı nedir? Bu olasılık 1/3'tür.

Ama soru farklı:

"... Rastgele seçilen bir kartın, gördüğümüz yüzü siyah olduğuna göre, diğer yüzünün beyaz olma olasılığı nedir? "

Fuzuli:

".. gördüğümüz yüzü siyah olduğuna göre.." deniyor... "Deney" burada başlıyor. Bir kart seçilmiş... elimizde bir kart, torbada da iki kart var. Soru şöyle de sorulabilirdi:

Tarif edilen özelliklerde üç kartımız var, bunların ikisini görmüyoruz, gizlenmişler, biri ise elimizde. Elimizde olan kartın bir yüzünün siyah olduğunu görüyoruz. Bu kartın diğer yüzünün beyaz olma olasılığı nedir?

Bütün olası durumları gözden geçirelim:

1) Elimizdeki kart iki yüzü de beyaz olan kart olamaz... bu olası bir durum değildir
2) Elimizdeki kart diğer iki karttan biri olmalıdır.
3) Bu iki karttan sadece birisinin diğer yüzünün beyaz olduğunu biliyoruz
4) O halde elimizdeki kartın diğer yüzünün beyaz olma olasılığı (sadece iki mümkün durum söz konusu olduğu için) 1/2'dir.

Soruyu şöyle modifiye edeyim:

Elimizde 3 kart var. Bu kartlardan birisinin her iki yüzü de beyaz. Diğer iki kartın ise bir yüzleri siyah, diğer yüzleri ise beyaz. Rastgele seçilen bir kartın, gördüğümüz yüzü siyah olduğuna göre, diğer yüzünün beyaz olma olasılığı nedir?

Bence cevap: 1'dir... sizce kaçtır?

Ben yine "1" cevabı vermezdim ve seçilen kartın bir yüzünün siyah olma olasılığının da soruya dahil olduğunu düşünmekte ısrar ederdim.
O zaman Sayın delibekir son sorduğunuz sorunun cevabı 2/3 olurdu...

olur olur

evinde dene

önce bir kart seç 3 karttan bunun baktıgın yüzü siyah ise bunu bir deneme olarak say arkasına bak
eğer siyah değilse ilk baktıgın yüz bunu denemeden sayma başa dön çünkü şartımız bir yüzünün siyah oldugunu biliyoruz. Sonra bu ilk baktıgın yüzünü siyah gördüklerinden kaç tanesinin arka yüzü beyaz çıktı say ve deneme sayısına oranla

Peki şöyle sorayım o zaman:

Torbada 100 tane kart var. Bunların 99'unun her iki yüzü de beyaz. Bir tanesinin ise bir yüzü siyah, bir yüzü beyaz . Rasgele bir kart çekmişim. Bakıyorum. Bana bakan yüzü siyah. Öteki yüzünün beyaz olma olasılığı nedir? Cevap 1'dir elbette, başka birşey olabilir mi???

1'den farklı bir cevap verirseniz, kartın bana bakan ve siyah olduğunu gözlerimle gördüğüm yüzünün de aslında beyaz olma olasılığından söz ediyor olacaksınız!

Zaten soruda o soruluyor. Burada önemli olan soruda onun sorulduğunu anlayabilmek. Zaten gördüğün gibi sorunun cevabı 1/3

ha bi torbada 3 siyah 3 beyaz misket var birini çektik siyah, diğerinin siyah olma olasılığı yine 3/6 dır öyle mi?

Bi daha yapın hesabınızı. Basit hesaplar bunlar.

Alaka kuramadım...

Şöyle düşünün. Soruda olması istenen şeyin olabilmesi için ne olması lazım? Elimizde bir tane siyah olacak ve arkasını çevirince beyaz olacak. Bu nasıl mümkün olabilir? Yalnızca bir yüzü siyah diğer yüzü beyaz olanı seçmişsek bu olabilir. Bunun başka bir yolu yok. Peki bunun olasılığı nedir?

Davinci şöyle düşün,

Olasılık yok yain ilk başta,eleman kart çekiyor diyelimü,beyaz yüzlü çıktı,onu atıyor bir kenara ve başka bir kart çekiyor illa ki bir yüzü siyah çıkacak.

Ancaaak yeni farkettim ki,3 tane kart niye verilmiş o zaman soruda? ,yani soru ya fazla-gereksiz bilgi içeriyor,ya da ilk cümle yanlış 2 ihtimalliden 1/3 çıkacak,2sinden biri.

Aldığını denemiş sayıyorsun ya...

Bence sen kendi kafana göre hikaye yazmışsın ona soru diyosun. Soru çok açık ve net. Daha nasıl açıklıyım bilmiyorum. Ben diyeceğimi dedim. Gerisi size kalmış.

olasılık soruları "türkçe" sorularıdır zaten...okuduğunu anlayabilme, ince ifadeleri kavrayabilme soruları.
soru neden şöyle sorulmuyor. elinizde bir kart var. bir yüzü siyah, bu görüyorsunuz. arka yüzü ya siyah yada beyaz olmak zorunda... arka yüzünün beyaz olma ihtimali nedir?
Tabii ki 1/2...

Ama burada sorulan sorudaki olay bir bütün.
1) o kartın önce torbadan çekilmesi. 2) bir yüzünün siyah olduğunun görülmesi ve 3) sonra diğer yüzünün ilk bilgilere göre beyaz olma olasılığının hesaplanması...

Ben böyle anlıyorum...

Torbada 100 tane kart var. Bunların 99'unun her iki yüzü de beyaz. Bir tanesinin ise bir yüzü siyah, bir yüzü beyaz . Rasgele bir kart çekmişim. Bakıyorum. Bana bakan yüzü siyah. Öteki yüzünün beyaz olma olasılığı nedir? Cevap 1'dir elbette, başka birşey olabilir mi???

1'den farklı bir cevap verirseniz, kartın bana bakan ve siyah olduğunu gözlerimle gördüğüm yüzünün de aslında beyaz olma olasılığından söz ediyor olacaksınız!

Burada tüm bu olayların ardarda olma olasılığı soruluyorsa sizin bu kartın bir yüzünün siyah veya beyaz olmasını görmenizin hiç bir önemi yok. arkasındaki rengi kesin olarak bilebilirsiniz. ama tüm olay düşünüldüğünde cevap 1/1 olamaz.

Soru "elimde tuttuğum kartın" arka yüzünün beyaz olma olasılığı nedir? ise, o 1/2'dir.

Eğer soru çektiğim "herhangi bir kartın" bir yüzü siyahsa diğer yüzünün beyaz olma olasılığı nedir? ise o 1/3'tür.

Ben soruyu ilk şekliyle yorumladım.

Bir yüzü siyah, bir yüzü beyaz bir kartın seçilme olasılığı ile, bir yüzünün siyah olduğunu "bildiğim" bir kartın arka yüzünün beyaz olma olasılığı aynı şey değil.

Eğer soru çektiğim "herhangi bir kartın" bir yüzü siyahsa diğer yüzünün beyaz olma olasılığı nedir? ise o 1/3'tür.

Hayır, gene değildir. Olasılık şudur: İstenen durumların sayısı/Olası durumların sayısı. "Bir yüzü siyah ise" dendiği an, olasılığın paydasındaki sayı değişmiştir. İki yüzün de beyaz olması durumu olası bir durum değildir, çünkü siyah olan yüz beyaz olamaz. O hâlde, olası durumların sayısı 2, istenen durumların sayısı 1, ve olasılık 1/2'dir.

Şöyle de göstermek mümkün: Kartlara K, L ve M diyelim:

K: Beyaz Beyaz
L: Beyaz Siyah
M: Siyah Siyah

Şimdi, bir kartı seçme ve o kartın rastgele bir yüzüne bakma olayında toplam 6 olası ihtimal var (K-B, K kartının Beyaz yüzü demek):

1. K-B
2. K-B
3. L-B
4. L-S
5. M-S
6. M-S

Gördüğümüz yüzün siyah olması demek 1, 2 ve 3. ihtimallerin gerçekleşmemiş olması demek, diğer yüzün beyaz olması demek ise seçilen kartın L olması demek. 4, 5 ve 6. ihtimallerden sadece 4. ihtimalde L kartı seçildiğinden olasılık 1/3'tür. Ama başta 1/2 diyordum. Cümleten yanılmışız, ahsuahd ne komik yahu!

Tamam soruya bakalım.

Bak orada "olduğuna" diyor.

Eleman zaten burada kartı "garanti" yani "Yüzde yüz,yani 1/1" ihmimalle çekmiş zaten.Yani bunun ihtimali yok,adam kartı çekmiş ve o "geldi" diyor,gelebilir mi demiyor.

Bir yüzü siyah olan kartı "çekti" ise,zaten 2 yüzü beyaz olam kartı eleyeceksin.

Onu neden vermiş o zaman dersen,yukarıda da söylediğim gibi ya unutulmuş bir "gereksiz" bilgi,ya da kafa karıştırmak için.

"olduğuna" ,bu kısma dikkat et.

"Rasgele çekilen bir kartın,görüğümüz yüzünün siyah,dier yüzünün beyaz olma olasılığı"

Bu son yazdığım soru değil,soruda "olduğuna" diyor.

elimdeki kartın arka yüzü ya siyahtır yada beyaz: cevap %50dir.

bu olasılığın değişmesi (bu örnekte) başka kartların sayısına değil, kartın arka yüzündeki renklerin sayısına bağlıdır. renk sayısı 3se 1/3 tür, 4se 1/4 v.s.

şöyle de sorsa durum değişmezdi: elimdeki kartın diğer yüzünün siyah olması olasılığı kaçtır. cevap yine %50 olurdu