Poincare Sanısı ... Yuzyilin Milenyum Problemi

[Manifold 0]

Bir portakalin etrafina gecirilmis bir lastik dusunelim. Bu lastigi koparmadan ve portakalin yuzeyinden ayrilmasina izin vermeden portakalin uzerinde herhangi bir noktaya dogru buzulmesini saglayabiliriz. Ama ayni lastigin bir simitin uzerine simiti bir kere saracak ve ortasindaki deliktan bir kere gececek sekilde gecirildigini dusunelim. Bu durumda bu lastigi koparmadan veya simiti bolmeden yuzey uzerindeki bir noktaya buzmek mumkun degildir. 

 

Demek ki bir portakalin yuzeyi (ile) bir simitin yuzeyi "topolojik" olarak ayni degildir. Bu ozellik, iki boyutlu bir kureyi (portakalin yuzeyini) diger yuzeylerden ayiran bir ozelliktir. Yani, bu ozellik kureyi "topolojik olarak" belirler.

 

Simdi uc boyutlu bir kure dusunelim. Uc boyutlu kure, dort boyutlu Oklid uzayinda merkeze olan uzakligi birim olan noktalar kumesi olarak tanimlanir, yani 

{(x,y,z,t)∈R4:x2+y2+z2+t2=1}{(x,y,z,t)∈R4:x2+y2+z2+t2=1}

olarak. Bunu, iki boyutlu kurenin taniminin genellestirilmesi olarak algilayabilirsiniz. 

Poincare nerdeyse bir yuzyil once su soruyu sordu: Iki boyutlu bir kureyi diger yuzeylerden ayiran lastigin bir noktaya buzulebilme ozelligi, acaba uc boyutlu kureyi de diger uc boyutlu uzaylardan ayiran bir ozellik midir? Yani eger uc boyutlu bir "manifold" ustunde gerilmis olan herhangi bir lastik koparilmadan bir noktaya buzulebiliyorsa, bu uzay uc boyutlu kurenin "topolojik bir kopyasi" midir?

 

Problem 2002 yılında Grigori Perelman tarafından çözülmüştür ...