Geometri sevenler

[DreiMalAli 0]

 

 

AC = CB = a

β = 180 - α ve cos(β) = cos(180 - α) = - cos(α)

 

CBD üçgeniinde α açısı için cosinus teoremi:

b^2 = a^2 + r^2 - 2*a*r*cos(α)

b^2 = A2 alanıdır.

 

ACD üçgeniinde β açısı için cosinus teoremi:

c^2 = a^2 + r^2 - 2*a*r*cos(β) = a^2 + r^2 + 2*a*r*cos(α)

c^2 = A1 alanıdır.

 

Her ikisini toplarsak

c^2 + b^2 = A1 + A2 = 2*(a^2 + r^2) = sabit!

 

Sevgiler

 

 

[Bir Buçuk 0]

@DreiMalAli, soru gayet doğru ifade edilmil ama ben yanlış anlamışım. A1+A2'nin sabit olmasından yola çıkıp, bu durumda A ve B noktalarını merkezden aynı uzaklıkta olması gerektiğini yanlışlıkla ispatlamış oldum.

Sanıyorum son ispat en şık ve en kısası.

Bir de kosinüssüz bir ispat daha var, cevap veren çıkmazsa ben göndereyim.

 

İpucu: c ve b kenarlarının kareler toplamını(ki sabit) a ve rcos(a) ile ifade etmek mümkün.

 

[DreiMalAli 0]

On 06.01.2021 at 00:38, Bir Buçuk yazdı:

...

Bir de kosinüssüz bir ispat daha var, cevap veren çıkmazsa ben göndereyim.

 

İpucu: c ve b kenarlarının kareler toplamını(ki sabit) a ve rcos(a) ile ifade etmek mümkün.

 

 

Görelim Bir Buçuk neyler

Neylerse güzel eyler.

 

Sevgiler

[DreiMalAli 0]

 

DEF üçgeninin hem EF = d kenarının uzunluğu D'nin konumundan bağımsızdır ve sabittir hem de DG = g kenarortayının uzunluğu.

d = ?

g = ?

 

Sevgiler

 

[Bir Buçuk 0]

4 saat önce, DreiMalAli yazdı:

 

Görelim Bir Buçuk neyler

Neylerse güzel eyler.

 

Sevgiler

 

c^2 = (a+rcos(alfa))^2 + (rsin(alfa))^2

b^2 = (a-rcos(alfa))^2 + (rsin(alfa))^2

 

İki ifade toplanırsa, yalnızca 2(a^2+r^2) kalır.  (sin^2(alfa)+cos^2(alfa) = 1 olduğundan)

 

 

Sevgiler

 

[DreiMalAli 0]

18 saat önce, Bir Buçuk yazdı:

 

c^2 = (a+rcos(alfa))^2 + (rsin(alfa))^2

b^2 = (a-rcos(alfa))^2 + (rsin(alfa))^2

 

İki ifade toplanırsa, yalnızca 2(a^2+r^2) kalır.  (sin^2(alfa)+cos^2(alfa) = 1 olduğundan)

 

 

Sevgiler

 

 

 

Sevgiler

[DreiMalAli 0]

22 saat önce, DreiMalAli yazdı:

 

DEF üçgeninin hem EF = d kenarının uzunluğu D'nin konumundan bağımsızdır ve sabittir hem de DG = g kenarortayının uzunluğu.

d = ?

g = ?

 

Sevgiler

 

 

Ayrıca

1- ABD üçgeninin alanı = DEF üçgeninin alanıdır

2- ABD üçgeninde CD kenarortayının uzantısı DEF üçgeninin EF kenarını dik açı ile keser

3- ve tersine DEF üçgeninde DG kenarortayının uzantısı ABD üçgeninin AB kenarını dik açı ile keser
(2/3- Yani D köşesinden bir üçgene çizilen kenarortay (yükseklik) aynı zamanda D köşesinden diğer üçgene çizilen yüksekliktir (kenarortaydır))

(Karantinada sakin geçen günlerin meyvesi diyelim. )

 

Sevgiler

[Bir Buçuk 0]

On 07.01.2021 at 21:20, DreiMalAli yazdı:

 

DEF üçgeninin hem EF = d kenarının uzunluğu D'nin konumundan bağımsızdır ve sabittir hem de DG = g kenarortayının uzunluğu.

d = ?

g = ?

 

Sevgiler

 

 

@DreiMalAli'nin tespitlerini de ispatlamak adına denklemleri yazalım. Öncelikle A1 ve A2 karelerinin içerisine şekildeki gibi eş dik üçgenler çizilir ve D(x,y) ise E(x-y, a+x+y) ve F(x+y, a-x+y) olduğu görülür:

 

Dolayısıyla, EF vektörü F-E yani (2y, -2x) bulunur. Bu vektörün uzunluğunun karesi, aynı zamanda 4d^2 = 4y^2 + 4x^2 olup, x^2+y^2 = r^2 olduğundan d = r bulunur.

DG kenarortayı, D(x,y)'den EF'nin orta noktasına, yani G(x, a+y)'ye gider. Dolayısıyla DG vektörü (0, a) bulunur. Bu vektörün de uzunluğu her zaman a'ya eşittir.

EF vektörünün eğimi, -x/y olup CD vektörünün eğimi y/x'dir. Yani bu iki doğru parçası her zaman diktir.

Aynı zamanda DG vektörü'nün x elemanı 0'dır. Yani bu her zaman AB'ye diktir.

 

Diğer yandan, yalnızca d uzunluğunu bulmak istiyorsak daha kolay bir yolu da mevcut. ADB açısına teta dersek:

4a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(teta)

4d^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(180-teta) = b^2 + c^2 + 2bc*cos(teta)

 

İkisini toplarsak, 4(a^2 + d^2) = 2(b^2 + c^2)

Önceden bulduğumuz eşitlikten 4(a^2+d^2) = 2(2(a^2 + r^2)), yani d = r bulunur.

 

Güzel bir soruymuş...

Sevgiler

[DreiMalAli 0]

15 saat önce, Bir Buçuk yazdı:

 

@DreiMalAli'nin tespitlerini de ispatlamak adına denklemleri yazalım. Öncelikle A1 ve A2 karelerinin içerisine şekildeki gibi eş dik üçgenler çizilir ve D(x,y) ise E(x-y, a+x+y) ve F(x+y, a-x+y) olduğu görülür:

 

Dolayısıyla, EF vektörü F-E yani (2y, -2x) bulunur. Bu vektörün uzunluğunun karesi, aynı zamanda 4d^2 = 4y^2 + 4x^2 olup, x^2+y^2 = r^2 olduğundan d = r bulunur.

DG kenarortayı, D(x,y)'den EF'nin orta noktasına, yani G(x, a+y)'ye gider. Dolayısıyla DG vektörü (0, a) bulunur. Bu vektörün de uzunluğu her zaman a'ya eşittir.

EF vektörünün eğimi, -x/y olup CD vektörünün eğimi y/x'dir. Yani bu iki doğru parçası her zaman diktir.

Aynı zamanda DG vektörü'nün x elemanı 0'dır. Yani bu her zaman AB'ye diktir.

 

Diğer yandan, yalnızca d uzunluğunu bulmak istiyorsak daha kolay bir yolu da mevcut. ADB açısına teta dersek:

4a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(teta)

4d^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(180-teta) = b^2 + c^2 + 2bc*cos(teta)

 

İkisini toplarsak, 4(a^2 + d^2) = 2(b^2 + c^2)

Önceden bulduğumuz eşitlikten 4(a^2+d^2) = 2(2(a^2 + r^2)), yani d = r bulunur.

 

Güzel bir soruymuş...

Sevgiler

 

İlk bakışta d = 2r olması gerekmiyor mu diyecektim nerdeyse. Ben, d = EF diye tanımlamıştım. Biraz geç fakettim; sen ise d = EG = GF = EF/2 diye tanımlamışsın. Yani meğer hepsi doğruymuş yav!

..

g = DG uzunluğu da cosinüs teoremi ile kolayca çözülüyor.

d = r olduğunu biliyoruz.

EFD açısına q dersek ve cosinüs teoremini q için hem GFD hem de EFD üçgenine uygularsak

g² = b² + d² - 2bdcos(q) = b² + r² - 2brcos(q)

c² = b² + 4d² - 4bdcos(q) = b² + 4r² - 4brcos(q)

Birinci eşitlik 2 ile çarpılır, sonuçtan ikinci eşitlik çıkarılırsa osinüslü term kısalır.

2g² - c² = b² - 2r²  ---> 2g² = (b² + c²) - 2r²  =  2(a² + r^2) - 2r²  = 2a² ve

g = a

 

Sevgiler

 

Not: Vektörlerle ben de bir deneyeyim. Vektörlerle genellikle daha kolay oluyor işlemler.

 

[DreiMalAli 0]

Alttan çizgili olan değişkenler verktördür.

Skalar çarpma için nokta (.) kullandım.

.................

C(0,0) dersek,

r = r(Cos(α), Sin(α)) ; CB = a(1, 0) ve CA = a(-1, 0) = -CB olur. Buradan

BD = r - CB = (rCos(α) - a , rSin(α)) ve AD = r - CA = r + CB = (rCos(α) + a , rSin(α))

 

1- Kare alanlarının toplamı: Bir vektör kendisi ile skalar çarpıldığında, uzunluğunun karesini verir!

A1 + A2 = BD . BD + AD . AD = (r - CB)² + (r + CB)²  = 2(r² + CB²) =  2(r² + a²) 

 

Prensip: Herhangi bir q(x , y) vektörü 90 derece sağa döndürülürse q_R(y , -x) 90 derece sola döndürülürse q_L(-y , x) vektörünü verir.

BD'yi 90 derece sağa ve AD'yi 90 derece sola dönderirsek, DF ve DE vektörlerini buluruz.

DF = (rSin(α) , a - rCos(α)) , DE = (-rSin(α) , rCos(α) + a)

 

2- EF = 2d uzunluğu:

EF = DF - DE = 2r(Sin(α) , -Cos(α)). Hiç başka işlem yapmadan EF = 2d = 2r olduğu hemen gözüküyor. Yani

d = r'dir.

 

3- DG = g kenarortay uzunluğu

DG = DE + EF/2 = (0 , a) ve

DG = g = a'dır.

 

Prensip: İki vektör dikse, skalar çarpımları sıfırdır.

4- r EF'e dik midir?

r . EF = r(Cos(α), Sin(α)) * 2r(Sin(α) , -Cos(α)) = 2r²[Sin(α) * Cos(α)  - Sin(α) * Cos(α)] = 0

Evet, diktir

 

5-DG CB'ye dik midir?

DG . CB = (0 , a) * a(1, 0) = 0

Evet, diktir

 

Üff! Foruma vektör yazılımı çok zahmetliymiş yav.

 

Sevgiler

[pozitivizm 0]

Dişli simulasyonu nasıl yapabilirim?

Grafik hesap makinesi ile deneme yanılma ile oluşturdum.

Ama diş sayısını değiştirince uyumsuz olmaya başlıyor.

Denklemi yazamadım bir türlü.

https://www.desmos.com/calculator/e88ngvr4pc

[DreiMalAli 0]

On 10.01.2021 at 20:05, husnu yazdı:

Dişli simulasyonu nasıl yapabilirim?

Grafik hesap makinesi ile deneme yanılma ile oluşturdum.

Ama diş sayısını değiştirince uyumsuz olmaya başlıyor.

Denklemi yazamadım bir türlü.

https://www.desmos.com/calculator/e88ngvr4pc

 

1- Diş saysını verince daire dişlinin cosinüs fonksiyonunun frekansı/pariyotu değişiyor. y fonksiyonunun frekansını/periyotunu da aynı yapman gerek.

2- daire dişlinin dişleri 270 derecede düz dişlilere değdiği için düz dişlideki cosinüs fonksiyonunun başlangıç fazını hesaplaman gerek.

Benim teklifim:

 

Daire dişli

r = P + Q*Cos(K*θ + a)

Q: Salınım (Sen 1/2 kullanmışsın)

P: dairenin yarıçapı

K: Dişli sayısı (tamsayı olacak)

 

Düz dişlinin dairesel frekansı:  K/P

Düz dişlinin faz katsayısı: M = 2 - (K MOD 4)

Düz dişlinin fonksiyonu: y = Q*Cos[(K/P)*x + M*π/2 + a] - P

 

Çizersen haber ver, ben de bakayım.

 

Sevgiler

 

 

[pozitivizm 0]

18 saat önce, DreiMalAli yazdı:

 

1- Diş saysını verince daire dişlinin cosinüs fonksiyonunun frekansı/pariyotu değişiyor. y fonksiyonunun frekansını/periyotunu da aynı yapman gerek.

2- daire dişlinin dişleri 270 derecede düz dişlilere değdiği için düz dişlideki cosinüs fonksiyonunun başlangıç fazını hesaplaman gerek.

Benim teklifim:

 

Daire dişli

r = P + Q*Cos(K*θ + a)

Q: Salınım (Sen 1/2 kullanmışsın)

P: dairenin yarıçapı

K: Dişli sayısı (tamsayı olacak)

 

Düz dişlinin dairesel frekansı:  K/P

Düz dişlinin faz katsayısı: M = 2 - (K MOD 4)

Düz dişlinin fonksiyonu: y = Q*Cos[(K/P)*x + M*π/2 + a] - P

 

Çizersen haber ver, ben de bakayım.

 

Sevgiler

 

 

 https://www.desmos.com/calculator/dl15dbv8tw

 

Diş dibi yarıçapı(p) ile diş yüksekliği(q) arasındaki oran  bir oranı geçince dişliler birbirlerine tam oturmuyor.

Diş sayısı artışıda etkiliyor.

 

Sikloid eğrisine göre dişli yapımı oldu bu.

Sikloid eğrisine göre  yapılmış dişliler artık kullanılmıyormuş.

Onun yerine evolvent eğrisine göre  yapılmış dişliler kullanılıyormuş.

 

Ocak 12, 2021 tarihinde husnu tarafından düzenlendi

[pozitivizm 0]

3 dakika önce, husnu yazdı:

 https://www.desmos.com/calculator/dl15dbv8tw

süper oldu.

 

 

Ocak 12, 2021 tarihinde husnu tarafından düzenlendi

[DreiMalAli 0]

50 dakika önce, husnu yazdı:

 https://www.desmos.com/calculator/dl15dbv8tw

 

Diş dibi yarıçapı(p) ile diş yüksekliği(q) arasındaki oran  bir oranı geçince dişliler birbirlerine tam oturmuyor.

Diş sayısı artışıda etkiliyor.

 

Sikloid eğrisine göre dişli yapımı oldu bu.

Sikloid eğrisine göre  yapılmış dişliler artık kullanılmıyormuş.

Onun yerine evolvent eğrisine göre  yapılmış dişliler kullanılıyormuş.

 

 

Diş eğrilerinden haberim yok.

 

Diş sayısı 0, 1, 2, 3 ilginç gözüküyor.

Formül meğer negatif sayıda dişler için de geçerliymiş!

 

Animasyondaki bir sembol/yorum için bir tanım düzeltmesi:

Frekans f ise dairesel frekans (Türkçesi böyle mi, bilmiyorum) 2πf'dir ve ω ile gösterilir.

 

Sevgiler

 

[pozitivizm 0]

14 saat önce, DreiMalAli yazdı:

 

Diş eğrilerinden haberim yok.

 

Diş sayısı 0, 1, 2, 3 ilginç gözüküyor.

Formül meğer negatif sayıda dişler için de geçerliymiş!

 

Animasyondaki bir sembol/yorum için bir tanım düzeltmesi:

Frekans f ise dairesel frekans (Türkçesi böyle mi, bilmiyorum) 2πf'dir ve ω ile gösterilir.

 

Sevgiler

 

En ilginci sıfır diş.

Dişlinin çapı büyüyüp küçülüyor.

[DreiMalAli 0]

Şekildeki gibi; ABCD dikdörtgeni ve AFE üçgeni verilmiş. a1, a2 ve a3 sırasıyla ABF, FCE ve EDA üçgenlerinin alanlarıdırlar.

a1, a2 ve a3 alanlarının değerleri biliniyorsa, AFE üçgeninin alanı olan a0'un değeri nasıl hesaplanır?

 

 

Sevgiler

 

PS: Bu ileti, Ateistforumda son iletim, Bilim Formunda son sorum olsun!

 

 

[deadanddark 0]

7 saat önce, DreiMalAli yazdı:

Şekildeki gibi; ABCD dikdörtgeni ve AFE üçgeni verilmiş. a1, a2 ve a3 sırasıyla ABF, FCE ve EDA üçgenlerinin alanlarıdırlar.

a1, a2 ve a3 alanlarının değerleri biliniyorsa, AFE üçgeninin alanı olan a0'un değeri nasıl hesaplanır?

 

 

Sevgiler

 

PS: Bu ileti, Ateistforumda son iletim, Bilim Formunda son sorum olsun!