Matematik Soruları Paylaşalım

[NotImportant 0]

 

Arkadaşınızla tavla oynuyorsunuz. Birer pulunuz hariç bütün pullarınız karşılıklı olarak kurtulmuş. Sizin kırılabilecek pulunuz onun tarafındaki orta kısımda. Onun pulu da sizin taraftakinde. Aralarındaki mesafe x. Bir zar atıyorsunuz. Ne oynamanız gerektiğine nasıl karar verirsiniz?

Yaklaşırsanız x'e göre kırılma ihtimali muhtemelen düşecek ama sonuçta bir yatırım yapmış olacaksınız. Kırılırsa zararınıza olacak.

İleriki pullardan garanti olsun diye oynarsanız kırılma ihtimali muhtemelen artacak. O zaman yine önceki yatırımlarınızı riske atmış olacaksınız.

Bunu matematiksel olarak nasıl modellersiniz?

 

Üzgünüm anlatımı yetersiz buldum anlatılan şekli bir tavlada modelleyemedim. 

[Bir Buçuk 0]

 

 

Üzgünüm anlatımı yetersiz buldum anlatılan şekli bir tavlada modelleyemedim. 

O zaman şu durumla başlayalım:

İki tarafın da dışarda sadece birer taşı kalmış. Yani önünüze 14 taşı almışsınız. Karşınızdaki de almış. Sağa topluyorsanız, sizin son taşınız ona göre tavlanın solunda bir yerde. Onun son taşı da size göre sağda bir yerlerde ve birbirlerini kırmaları mümkün.

[Namessar 0]

Matematige merak saran bir insanım forumda bu konuda bilgili epey insan var sıfırdan öğrenmek istiyorum onerilerinizi var mı teşekkür ederim

[Bir Buçuk 0]

Sağ yarıda bulunan pullar arasındaki uzaklık x ise, x en fazla 11 olabilir. Kimisi saat yönünün tersine toplar, o zaman da sol yarı olur.

Tavlada herhangi bir zarın gelme ihtimali, çiftler haricinde 2/36'dır. Çünkü yerler değişebilir. Çift gelme ihtimali ise 1/36'dır. Bir x değişkenine göre(iki pul arasındaki uzaklığa göre) hesap yaparsak:

x=11 -> 6-5 -> 2/36

x=10-> 6-4 5-5 -> 3/36

x=9 -> 6-3 5-4 -> 4/36

x=8 -> 6-2 5-3 4-4 -> 5/36

x=7 -> 6-1 5-2 4-3 -> 6/36

x=6 -> 5-1 4-2 3-3 6-k -> 11/36

x=5 -> 4-1 3-2 veya 5-k-> 10/36

x=4 -> 3-1 2-2 4-k -> 9/36

x=3 -> 2-1 3-k-> 8/36

x=2 -> 1-1 2-k -> 7/36

x=1 -> 1-k-> 6/36

Elbette böyle tek tek yazmaya gerek yok, çok daha kolay yöntemler var. Ama şimdilik böyle yazalım. Karşıdakinin uzaklığı x idi, biz y zarı attık. Ne hamle yapmamız gerekir?

Eğer pulu geçebiliyorsak geçeceğiz. Kırabiliyorsak da kıracağız. Onun dışında, geçemediğimiz durumlar da olacak.

Bir piyango oynadığımızda, verdiğimiz miktara karşı alabileceğimiz bir de ödül vardır. Kazanma ihtimali, ödül miktarı ve ödediğimiz miktarı hesaba katıp iki piyango arasında bir seçim yapmak mümkün. Sadece piyango da değil, bu hesap riski hesaba katarak seçim yapmanın bir yolu. Örneğin, karşıdaki pula uzaklık 10 birim. Biz 6-3 attık. 6'yı her şekilde oynamak zorundayız çünkü bütün pullar önümüzde, 6 oynayacak yerimiz yok. Uzaklık 4 birime düştü. Eğer 3'ü başka yerden oynarsak, 1/4 ihtimalle pulumuz kırılacak ve başa döneceğiz. Bu durumda kaybımız pulun başlangıç noktasına uzaklığına göre değişecektir. -12 olsun. Eğer kırmazsa da, attığımız bütün zar kadar karda olacağız. O da +9'dur. Yani 3'ü başka yerden oynamamız durumunda (1/4)*-12+(3/4)*9=+3,75 eder. 3'ü de ordan oynarsak, 1/6 ihtimalle pulumuz kırılır. Yani -2+(5/6)*9=5,5 eder. Yani her şeyi açık taş üzerinden oynamak daha mantıklı.

Ancak 11 birim uzakta olup da böyle bir zar atsaydık, muhtemelen daha farklı oynamak zorunda kalacaktık. Çünkü yaklaştıkça kırılma ihtimalimiz çok artacaktı.

Sevgiler.

[Bir Buçuk 0]

X kişisi insanlarla, özellikle de kızlarla tanışmada sıkıntılar yaşamaktadır.

Bunun tek yolunun denemek olduğunu gören X, 2 günde bir dışarı çıkıp, her çıkışta 2 kızla tanışmaktadır. Herhangi bir kızla tanıştığında, kızla iletişimi devam ettirme ihtimalini %5 olarak almıştır. X'in verdiği orana göre:

1 ay boyunca bu düzenle devam eden X kişisinin, bir ay sonunda hiçbir kızla iletişimi sürdürememiş olma olasılığı nedir?

2 kızla birden konuşuyor olma olasılığı nedir?

[Zarava ehmel 0]

 

X kişisi insanlarla, özellikle de kızlarla tanışmada sıkıntılar yaşamaktadır.

Bunun tek yolunun denemek olduğunu gören X, 2 günde bir dışarı çıkıp, her çıkışta 2 kızla tanışmaktadır. Herhangi bir kızla tanıştığında, kızla iletişimi devam ettirme ihtimalini %5 olarak almıştır. X'in verdiği orana göre:

1 ay boyunca bu düzenle devam eden X kişisinin, bir ay sonunda hiçbir kızla iletişimi sürdürememiş olma olasılığı nedir?

2 kızla birden konuşuyor olma olasılığı nedir?

   1 ay boyunca toplam 30 kızla tanışır.Her birinde başarısız olma ihtimali 19/20 dir.

Bunların tümünde başarısız olma ihtimali ise 19^30/20^30.(19 üzeri 30 bölü 20 üzeri 30)

    

 

[Bir Buçuk 0]

 

   1 ay boyunca toplam 30 kızla tanışır.Her birinde başarısız olma ihtimali 19/20 dir.

Bunların tümünde başarısız olma ihtimali ise 19^30/20^30.(19 üzeri 30 bölü 20 üzeri 30)

    

 

Evet, o da %21 eder. Yani %79 ihtimalle başarılı olmuştur.

[Zarava ehmel 0]

  2.soru :30 denemeden herhangi ikisinde başarılı olup 28 tanesinde başarısız olma ihtimali ise=19^28/20^30

[Bir Buçuk 0]

 

  2.soru :30 denemeden herhangi ikisinde başarılı olup 28 tanesinde başarısız olma ihtimali ise=19^28/20^30

Hayır, bu doğru değil. Bu hesap, tek bir senaryo için geçerli. Mesela 6. ile 11. kızın kabul etme ihtimalini sorsaydım geçerli olurdu. Yanlışlığını daha iyi anlatmak için şöyle bir örnek vereyim:

3 kere yazı tura attık. 2 yazı 1 tura gelme olasılığı nedir? Bu hesaba göre 1/8.

Cevap ne? 3/8. Çünkü yazılabilecek bütün dizilimler de birer olasılıktır. YYT dizisini de ancak 3 farklı şekilde yazabilirsin.

[Zarava ehmel 0]

 

Hayır, bu doğru değil. Bu hesap, tek bir senaryo için geçerli. Mesela 6. ile 11. kızın kabul etme ihtimalini sorsaydım geçerli olurdu. 

  O zaman 30 tane kızdan 2 tanesini kaç farklı şekilde seçeceğimizi buluruz (435), bu sayıylada yukarıda vermiş olduğumu çarparız.Yani=435×(19^28/20^30) 

 Sanırım bu kez doğru oldu.

[Bir Buçuk 0]

Evet, tebrikler. İster tekrarlı permütasyonla ister kombinasyonla yaparız. O hesaptan da %43 çıkar. 

[Zarava ehmel 0]

 

Evet, tebrikler. İster tekrarlı permütasyonla ister kombinasyonla yaparız. O hesaptan da %43 çıkar. 

  Teşekkürler.Hesap makinesi o işlemi %25 olarak hesaplıyor.Neyse zaten önemli kısmı o değil.

[Bir Buçuk 0]

Evet, dikkatimden kaçmış. 

Zaten benim dediğim gibi olsa iki tane kız olma olasılığının bir tane olma olasılığından büyük olması gerekiyor

İhtimaller sürekli azalmak zorunda olduğu için, bir tane kız için %43'den fazla olması gerek. Fazla olmayı geçtim, aynı olsa dahi kurtarmıyor. 

[Zarava ehmel 0]

  Bir soruda ben yazayım.Zaten başka bir konu başlığı altında yazılmıştı ama asıl yeri bu başlık olduğu için buraya taşıyalım.

  120 metre yükseklikten bırakılan bir top yere her düşüşünde bir önceki yüksekliğin 3/4' ü kadar zıplıyor.Bu koşula göre top duruncaya kadar aldığı yol ne kadardır? 

[Bir Buçuk 0]

 

  Bir soruda ben yazayım.Zaten başka bir konu başlığı altında yazılmıştı ama asıl yeri bu başlık olduğu için buraya taşıyalım.

  120 metre yükseklikten bırakılan bir top yere her düşüşünde bir önceki yüksekliğin 3/4' ü kadar zıplıyor.Bu koşula göre top duruncaya kadar aldığı yol ne kadardır? 

Bunun birçok çözümü var.

Geometrik serinin toplam formülüyle çözülebilir. Veya aynı formülün çıkış noktasından formülsüz yapılabilir. Ama ben başka bir yöntem deneyeceğim. Top herhangi bir yükseklikten sekti, çıkabileceği en yüksek noktaya çıktı. Bu en yüksek noktanın yüksekliği h olsun. Bırakıldığı noktayı saymıyorum çünkü ikiyle çarparken sıkıntı yaratır.

Her sekişte 3/4 ile çarpıp bu toplama ekliyoruz. Yani şöyle bir örüntü ortaya çıkıyor: h+(3/4)*h+(3/4)²h+(3/4)³h... diye sonsuza gidiyor. h parantezine alalım. Kalan üslü kesir toplamına da t diyelim. Yani t=1+(3/4)+(3/4)²+... olur. O halde şöyle yazabiliriz:

th=h+(3/4)th

th'ları bir tarafa toplayalım. Yani (th)/4=h. Burdan t 4 çıkar.

h yerine 90 koyalım(ilk sekişten sayıyoruz), 360 metre eder. İniş çıkışlarla birlikte 720, ilk düşüşü de sayarsak 840 eder.

 

Sonsuz geometrik seri toplamında işlem de 2*(90/(1-3/4))+120 olur.

[Ten Ten 0]

 

Bunun birçok çözümü var.

Geometrik serinin toplam formülüyle çözülebilir. Veya aynı formülün çıkış noktasından formülsüz yapılabilir. Ama ben başka bir yöntem deneyeceğim. Top herhangi bir yükseklikten sekti, çıkabileceği en yüksek noktaya çıktı. Bu en yüksek noktanın yüksekliği h olsun. Bırakıldığı noktayı saymıyorum çünkü ikiyle çarparken sıkıntı yaratır.

Her sekişte 3/4 ile çarpıp bu toplama ekliyoruz. Yani şöyle bir örüntü ortaya çıkıyor: h+(3/4)*h+(3/4)²h+(3/4)³h... diye sonsuza gidiyor. h parantezine alalım. Kalan üslü kesir toplamına da t diyelim. Yani t=1+(3/4)+(3/4)²+... olur. O halde şöyle yazabiliriz:

th=h+(3/4)th

th'ları bir tarafa toplayalım. Yani (th)/4=h. Burdan t 4 çıkar.

h yerine 90 koyalım(ilk sekişten sayıyoruz), 360 metre eder. İniş çıkışlarla birlikte 720, ilk düşüşü de sayarsak 840 eder.

 

Sonsuz geometrik seri toplamında işlem de 2*(90/(1-3/4))+120 olur.

840/120=7 çıkıyor.7 kutsal sayımı?

[Zarava ehmel 0]

 

th=h+(3/4)th

  Tebrikler.Doğru cevap 840.Çözümde gayet açıklayıcı olmuş.

 

[Bir Buçuk 0]

 

840/120=7 çıkıyor.7 kutsal sayımı?

7 kutsal değil ama en sevdiğim sayıdır. Neden 120'ye böldük?

 

Biraz zorlaştıralım. Bir araba t=0 anında harekete başlıyor. Hız formülü, t'yi saniye olarak alırsak 10t. 10 saniyede 100 km/s hıza ulaşıyor. Hızının sınırı yok.

Bu araç Türkiye'de 4 şeritli bir yolda gidiyor. Şerit genişliği 3.5 metre. En sağdan en sola geçiyor. Şerit değiştirme hızı, aracın hızına göre değişmiyor. Yani 200 km hızla da olsa, 20 km hızla da olsa aynı hızla şerit değiştiriyor. Bu araç 4 saniyede 1 şerit değiştiriyor.

En sağdan en sola geçen bu araç, bu süre içinde kaç metre yol almıştır?

[Zarava ehmel 0]

 

 

Biraz zorlaştıralım. Bir araba t=0 anında harekete başlıyor. Hız formülü, t'yi saniye olarak alırsak 10t. 10 saniyede 100 km/s hıza ulaşıyor. Hızının sınırı yok.

  Bu koşula göre ivmesi 10 km/s^2 ( 10 kilometre bölü saniye kare.) oluyor.Hızının sınırıda olmadığına göre ilerleyen saniyelerde de hızlanmaya devam ediyor.Bu hız bir araba için çok yüksek olmuyor mu? Arabadan ziyade uzay aracına benziyor??.Bu şekliyle soruda kullanınca çok yüksek rakamlar çıkıyor.Yoksa ben mi yanlış anladım?

Ağustos 28, 2017 tarihinde Zarava ehmel tarafından düzenlendi

[Bir Buçuk 0]

Orası öyle, ama 3 kere şerit değiştirecek. 12 saniye sürecek yani hareketi. O yüzden son hızı 120 km/s olacak.