Matematik Soruları Paylaşalım

[John_Ahmet 0]

52 dakika önce, deadanddark yazdı:

Bu soruya cevap verecek kimse yok mu?

 

Alıntı

11 - 2 = 3²

1111 - 22 = 33²

111111 - 222 = 333²

11111111 - 2222 = 3333²

...

Bu dizi hep böyle mi devam eder?

 

Ben 11'li ifadenin 100 bin basamağı geçtiği sayılara kadar hesapladım. Çok büyük ihtimalle sonsuza kadar bu eşitlik doğrudur. İspatını yapabilen yapsın. Yaptığını söyleyenlere hemen inanmayın. Yaptıysa paylaşsın da görelim.

Haziran 30, 2020 tarihinde John_Ahmet tarafından düzenlendi

[deadanddark 0]

4 saat önce, John_Ahmet yazdı:

 

 

Ben 11'li ifadenin 100 bin basamağı geçtiği sayılara kadar hesapladım. Çok büyük ihtimalle sonsuza kadar bu eşitlik doğrudur. İspatını yapabilen yapsın. Yaptığını söyleyenlere hemen inanmayın. Yaptıysa paylaşsın da görelim.

 

Daha kolay bir yolu olmali diye düsünüyorum.

Tersten gitmenin bir yolu yok mu bunun?

Yoksa geometrik bir sekil , örnegin ücgen, belki daire mi kullanilabilir ispat icin. Hala bir yol yordam aramaktayim.

[Smile Buddha 0]

8 saat önce, deadanddark yazdı:

On 28.06.2020 at 12:02, DreiMalAli yazdı:

11 - 2 = 3²

1111 - 22 = 33²

111111 - 222 = 333²

11111111 - 2222 = 3333²

...

Bu dizi hep böyle mi devam eder?

 

Sevgiler

 

Bu soruya cevap verecek kimse yok mu?

1. 1*(10)+1=(10^0)*10^1)+(10^0)
2. 11*(100)+11=(10^0+10^1)*10^2+(10^0+10^1)
3. 111(1000)+111=(10^0+10^1+10^2)*10^3+(10^0+10^1+10^2)
4. 1111(10000)+1111=(10^0+10^1+10^2+10^3)*10^4+(10^0+10^1+10^2+10^3)

       n.=a*10n+a

 

1. 2=2*(10^0)
2. 22=2*(10^0+10^1)
3. 222=2*(10^0+10^1+10^2)
4. 2222=2*(10^0+10^1+10^2+10^3)

       n.2*a

 

1. 3^2=9*(10^0)^2
2. 33^2=9*(10^0+10^1)^2
3. 333^2=9*(10^0+10^1+10^2)^2
4. 333^2=9*(10^0+10^1+10^2+10^3)^2

       n.9*a²=3²*a²

 

altı çizili olanlara a diyoruz.

3 numaralı olanı seçelim.

10³*(a)+a-2(a)=9*(a²)

10³*(a)-(a)=9*(a²)

a*(10³-1)=9(a²)

(10³-1)=9a

n numaralıyı seçersek

10ⁿ-1=9a

a=(10⁰+10¹+10²+......10^n-1)=(10ⁿ-1)/9=(10ⁿ-1)/3²

 

 

^{Böyle ispat mı olur?}

 

 

 

  

 

 

 

 

 

Haziran 30, 2020 tarihinde Smile Buddha tarafından düzenlendi

[deadanddark 0]

13 saat önce, Smile Buddha yazdı:

Böyle ispat mı olur?

 

daha ne olsun. bundan iyisi samda kayisi.

Bir sayinin 5 ile carpimindan cikan sayinin son rakami hep 5 ve 0 mi olur degil mi? ama öyle iste.

indüksiyon , türev ve integral ise cok sevimsiz ve agir geliyor, ben vazgectim.

[Sütlü Kase 0]

Çok küçük açı farkları çok büyük değişiklikler yapıyor bu fonksiyonda. İstediğimi elde edemedim. 

[DreiMalAli 0]

On 30.06.2020 at 23:13, Smile Buddha yazdı:

1. 1*(10)+1=(10^0)*10^1)+(10^0)
2. 11*(100)+11=(10^0+10^1)*10^2+(10^0+10^1)
3. 111(1000)+111=(10^0+10^1+10^2)*10^3+(10^0+10^1+10^2)
4. 1111(10000)+1111=(10^0+10^1+10^2+10^3)*10^4+(10^0+10^1+10^2+10^3)

       n.=a*10n+a

 

1. 2=2*(10^0)
2. 22=2*(10^0+10^1)
3. 222=2*(10^0+10^1+10^2)
4. 2222=2*(10^0+10^1+10^2+10^3)

       n.2*a

 

1. 3^2=9*(10^0)^2
2. 33^2=9*(10^0+10^1)^2
3. 333^2=9*(10^0+10^1+10^2)^2
4. 333^2=9*(10^0+10^1+10^2+10^3)^2

       n.9*a²=3²*a²

 

altı çizili olanlara a diyoruz.

3 numaralı olanı seçelim.

10³*(a)+a-2(a)=9*(a²)

10³*(a)-(a)=9*(a²)

a*(10³-1)=9(a²)

(10³-1)=9a

n numaralıyı seçersek

10ⁿ-1=9a

a=(10⁰+10¹+10²+......10^n-1)=(10ⁿ-1)/9=(10ⁿ-1)/3²

 

 

^{Böyle ispat mı olur?}

 

Olur olur, bal gibi olur! 

(Böyle bir şarkı da vardı galiba )

10 üzerinden 9 puan verdim. O bir puan da matematiksel yazılımlardaki eksikliğinden dolayı kesildi.

Matematik öğretmenleri duymasın, bir kaç puan daha kesmeye kalkarlar.

..

Benim çözümüm de seninkinin benzeridir.

 

On 28.06.2020 at 11:02, DreiMalAli yazdı:

11 - 2 = 3²

1111 - 22 = 33²

111111 - 222 = 333²

11111111 - 2222 = 3333²

...

Bu dizi hep böyle mi devam eder?

 

Sevgiler

 

Dizideki 2'ler terimlerindeki 2 rakamlarının sayısı 3'ler terimlerindeki 3 rakamlarının sayısına eşittir. Bu sayıya n diyelim. 1'ler terimlerindeki 1 rakamlarının sayısı ise 2n olur.

a_n = 10ⁿ dizisini elemanları 1 ile başlar, peşinden n tane 0 gelir.

(a₁ = 10¹ = 10, a₂ = 10² = 100, ... a₅ = 10⁵ = 100000, ...)

 b_n = a_n - 1 = 10ⁿ - 1  dizisinin elemanlarının rakamları ise sadece 9'lardan oluşur ve bu 9'ların sayısı n'dir. (Matematiksel tümevarım metodu (induktion) ile kolayaca kanıtlanabilir)

(b₁ = 10¹ - 1 = 10 - 1 = 9, b₂ = 10² - 1 = 100 - 1 = 99, ... b₅ = 10⁵ - 1 = 100000 - 1 = 99999, ...)

 c_n = b_n / 9  = (10ⁿ - 1) / 9 dizisinin elemanlarının rakamları sadece 1'lerden oluşur ve bu 1'lerin sayısı n'dir.

(c₁ = (10¹ - 1) / 9 = (10 - 1) / 9 = 9 / 9 = 1, c₂ = (10² - 1) / 9 = (100 - 1) / 9 = 99 / 9 = 11, ... c₅ = (10⁵ - 1) / 9 = (100000 - 1) / 9 = 99999 / 9 = 11111, ...)

 d_n = 2*b_n  = 2*(10ⁿ - 1) / 9 dizisinin elemanlarının rakamları sadece 2'lerde oluşur ve bu 2'lerin sayısı n'dir.

(d₁ = 2*1 = 2,  d₂ = 2*11 = 22, ... d₅ = 2*11111 = 22222, ...)

 e_n = 3*b_n  = 3*(10ⁿ - 1) / 9 = (10ⁿ - 1) / 3 dizisinin elemanlarının rakamları sadece 3'lerden oluşur ve bu 3'lerin sayısı n'dir.

(e₁ = 3*1 = 3,  e₂ = 3*11 = 33, ... e₅ = 3*11111 = 33333, ...)

(e_n = b_n / 3 = (10ⁿ - 1) / 3 'de aynı sonucu verirdi)

 

Dizinin terimlerinin elemenalarını bu şekilde formüle ettikten sonra, sorulan soru

c_2n - d_n =? (e_n )² midir sorusuna dönüşür.

Yani

(10²ⁿ - 1)/9 - 2*(10ⁿ - 1)/9 = [(10ⁿ - 1)/3]²

eşitliği doğru mudur sorusunun cevabı isteniyordur. Bu eşitliğin doğruluğunu göstermek ise basittir. Eşitliğin sol tarafını alırız ve biraz oynarız, sağ taraftaki terimi buluruz:

(10²ⁿ - 1)/9 - 2*(10ⁿ - 1)/9 = (1/9)*[(10²ⁿ - 1) - 2*(10ⁿ - 1)] = (1/9)*(10²ⁿ - 1 - 2*10ⁿ + 2) = (1/9)*(10²ⁿ - 2*10ⁿ + 1) = (1/3²)*(10ⁿ - 1)² = [(10ⁿ - 1)/3]²

Ki bu sonuç da kanıtlamaya çalıştığımız eşitliğin sağ tarıfındaki terimdir. Eitliğin her n sayısı için geçerli olduğu matematiksel tümevarım metodu ile ayrıca kanıtlanabilir.

(Q, E, D)

 

Sevgiler

 

[John_Ahmet 0]

On 01.07.2020 at 00:13, Smile Buddha yazdı:

Böyle ispat mı olur?

 

3 saat önce, DreiMalAli yazdı:

Dizideki 2'ler terimlerindeki 2 rakamlarının sayısı 3'ler terimlerindeki 3 rakamlarının sayısına eşittir. Bu sayıya n diyelim. 1'ler terimlerindeki 1 rakamlarının sayısı ise 2n olur.

a_n = 10ⁿ dizisini elemanları 1 ile başlar, peşinden n tane 0 gelir.

(a₁ = 10¹ = 10, a₂ = 10² = 100, ... a₅ = 10⁵ = 100000, ...)

 b_n = a_n - 1 = 10ⁿ - 1  dizisinin elemanlarının rakamları ise sadece 9'lardan oluşur ve bu 9'ların sayısı n'dir. (Matematiksel tümevarım metodu (induktion) ile kolayaca kanıtlanabilir)

(b₁ = 10¹ - 1 = 10 - 1 = 9, b₂ = 10² - 1 = 100 - 1 = 99, ... b₅ = 10⁵ - 1 = 100000 - 1 = 99999, ...)

 c_n = b_n / 9  = (10ⁿ - 1) / 9 dizisinin elemanlarının rakamları sadece 1'lerden oluşur ve bu 1'lerin sayısı n'dir.

(c₁ = (10¹ - 1) / 9 = (10 - 1) / 9 = 9 / 9 = 1, c₂ = (10² - 1) / 9 = (100 - 1) / 9 = 99 / 9 = 11, ... c₅ = (10⁵ - 1) / 9 = (100000 - 1) / 9 = 99999 / 9 = 11111, ...)

 d_n = 2*b_n  = 2*(10ⁿ - 1) / 9 dizisinin elemanlarının rakamları sadece 2'lerde oluşur ve bu 2'lerin sayısı n'dir.

(d₁ = 2*1 = 2,  d₂ = 2*11 = 22, ... d₅ = 2*11111 = 22222, ...)

 e_n = 3*b_n  = 3*(10ⁿ - 1) / 9 = (10ⁿ - 1) / 3 dizisinin elemanlarının rakamları sadece 3'lerden oluşur ve bu 3'lerin sayısı n'dir.

(e₁ = 3*1 = 3,  e₂ = 3*11 = 33, ... e₅ = 3*11111 = 33333, ...)

(e_n = b_n / 3 = (10ⁿ - 1) / 3 'de aynı sonucu verirdi)

 

Dizinin terimlerinin elemenalarını bu şekilde formüle ettikten sonra, sorulan soru

c_2n - d_n =? (e_n )² midir sorusuna dönüşür.

Yani

(10²ⁿ - 1)/9 - 2*(10ⁿ - 1)/9 = [(10ⁿ - 1)/3]²

eşitliği doğru mudur sorusunun cevabı isteniyordur. Bu eşitliğin doğruluğunu göstermek ise basittir. Eşitliğin sol tarafını alırız ve biraz oynarız, sağ taraftaki terimi buluruz:

(10²ⁿ - 1)/9 - 2*(10ⁿ - 1)/9 = (1/9)*[(10²ⁿ - 1) - 2*(10ⁿ - 1)] = (1/9)*(10²ⁿ - 1 - 2*10ⁿ + 2) = (1/9)*(10²ⁿ - 2*10ⁿ + 1) = (1/3²)*(10ⁿ - 1)² = [(10ⁿ - 1)/3]²

Ki bu sonuç da kanıtlamaya çalıştığımız eşitliğin sağ tarıfındaki terimdir. Eitliğin her n sayısı için geçerli olduğu matematiksel tümevarım metodu ile ayrıca kanıtlanabilir.

(Q, E, D)

 

On 01.07.2020 at 00:13, Smile Buddha yazdı:

1. 1*(10)+1=(10^0)*10^1)+(10^0)
2. 11*(100)+11=(10^0+10^1)*10^2+(10^0+10^1)
3. 111(1000)+111=(10^0+10^1+10^2)*10^3+(10^0+10^1+10^2)
4. 1111(10000)+1111=(10^0+10^1+10^2+10^3)*10^4+(10^0+10^1+10^2+10^3)

       n.=a*10n+a

 

1. 2=2*(10^0)
2. 22=2*(10^0+10^1)
3. 222=2*(10^0+10^1+10^2)
4. 2222=2*(10^0+10^1+10^2+10^3)

       n.2*a

 

1. 3^2=9*(10^0)^2
2. 33^2=9*(10^0+10^1)^2
3. 333^2=9*(10^0+10^1+10^2)^2
4. 333^2=9*(10^0+10^1+10^2+10^3)^2

       n.9*a²=3²*a²

 

altı çizili olanlara a diyoruz.

3 numaralı olanı seçelim.

10³*(a)+a-2(a)=9*(a²)

10³*(a)-(a)=9*(a²)

a*(10³-1)=9(a²)

(10³-1)=9a

n numaralıyı seçersek

10ⁿ-1=9a

a=(10⁰+10¹+10²+......10^n-1)=(10ⁿ-1)/9=(10ⁿ-1)/3²

 

 

^{Böyle ispat mı olur?}

 

@Smile Buddha'nın yaptığı ispat çok daha anlaşılır ve doğrudan amaca yönelik olduğu için kendi alanının matematik olmadığı da göz önünde bulundurulursa programlama destekli ispat konusunda çok profesyonel olmasa bile bu konudaki başarısı ortalamanın üzerindedir ve bence 10 üzerinden 10 puanı hak ediyor. Kendisini tebrik ederim. Paylaşılan ve ispat olduğu öne sürülen diğer karalama ise kesinlikle ispat değildir.

[DreiMalAli 0]

3*log_x(7) - log₇(x) = 2

denklemini çözen x'in değerleri nelerdir?

 

Sevgiler

[Sütlü Kase 0]

On 05.07.2020 at 16:42, DreiMalAli yazdı:

3*log_x(7) - log₇(x) = 2

denklemini çözen x'in değerleri nelerdir?

 

Sevgiler

 

Cevap gelmemiş hiç ben yazayım logx(7) ye a dersek log7(x) 1/a olur oradan 2. Derece denklem gelir köklerden logx(7) = 1 veya -1/3 geliyor.

 

x ise 1 veya 2.91x10^-3 yada yaklaşık 0.003 geliyor.

[Smile Buddha 0]

On 05.07.2020 at 16:42, DreiMalAli yazdı:

3*log_x(7) -log₇(x) = 2

denklemini çözen x'in değerleri nelerdir?

 

Sevgiler

log_x(7)=log₁₀(7)/log₁₀(x)=ln(7)/ln(x)

log₇(x)=log₁₀(x)/log₁₀(7)=ln(x)/ln(7)

 

3*ln(7)/ln(x) - ln(x)/ln(7) =2

a=ln(7)/ln(x) olursa

1/a=ln(x)/ln(7) olur.

3*a-1/a=2

 

3*a²-2*a-1=0

 

bu formüle göre köklerini bulursak

a₁=-1/3

a₂=1    

 

ln(7)/ln(x)=-1/3

x₁=0,002915451895

ln(7)/ln(x)=1

x₂=7

 

 

kağıtta çözmeye çalışınca çok yer kaplıyor.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[DreiMalAli 0]

Hem @Sütlü Kase'nin hem de @Smile Buddha'nın cevapları doğrudur.

Denklem 2. dereceden bir denkleme dönüştürüldüğünden x için 2 değer bulunuyor.

x₁ = 7

ve

x₂ = 1 / (³√7)

 

İlginçdir; eğer denklem

log_x(a) - log_a(x) = 1

şeklinde olsaydı, log_x(a) teriminin mutlak değeri ve de log_a(x) teriminin mutlak değeri Altın Oran sayısını verecekti, hem de a'nın değerinden bağımsız.

 

Sevgiler

[DreiMalAli 0]

33² = 1089

333² = 110889

3333² = 11108889

33333² = 1111088889

333333² = 111110888889

...

Her seferinde sıfır'ın soluna fazladan bir 1 ve sağ tarafına fazladan bir 8 geliyor.

Bu kuralın hep böyle devam ettiği/etmediği nasıl kanıtlanır?

Ben biraz uğraştım, henüz başaramadım.

 

Sevgiler

[haci 0]

On 02.08.2020 at 15:14, DreiMalAli yazdı:

33² = 1089

333² = 110889

3333² = 11108889

33333² = 1111088889

333333² = 111110888889

...

Her seferinde sıfır'ın soluna fazladan bir 1 ve sağ tarafına fazladan bir 8 geliyor.

Bu kuralın hep böyle devam ettiği/etmediği nasıl kanıtlanır?

Ben biraz uğraştım, henüz başaramadım.

 

Sevgiler

Başaramazsın tabii sevgili DMA....

Buna biz delinin pösteki sayması diyebiliriz.

[Kenopsia 0]

On 02.08.2020 at 22:14, DreiMalAli yazdı:

33² = 1089

333² = 110889

3333² = 11108889

33333² = 1111088889

333333² = 111110888889

...

Her seferinde sıfır'ın soluna fazladan bir 1 ve sağ tarafına fazladan bir 8 geliyor.

Bu kuralın hep böyle devam ettiği/etmediği nasıl kanıtlanır?

Ben biraz uğraştım, henüz başaramadım.

 

Sevgiler

 

İşinizi görür mü

 

[DreiMalAli 0]

On 06.08.2020 at 13:10, Kenopsia yazdı:

 

İşinizi görür mü

 

 

Çoook güzel!

 

Sevgiler

[DreiMalAli 0]

On 05.08.2020 at 19:30, haci yazdı:

Başaramazsın tabii sevgili DMA....

Buna biz delinin pösteki sayması diyebiliriz.

 

Sevgili haci.

Ben "gereksiz işler uzmanlığı" olarak tanımlamayı daha uygun bulurum.

Ve hem matematik hem de fizik başlığında görüldüğü gibi, gereksiz işler uzmanları yalnız değildir.

Bir gereksiz işler uzmanının sorunu olursa, hemen diğer bir gereksiz işler uzmanı yardımına koşar.

Sevgiler

[haci 0]

6 saat önce, DreiMalAli yazdı:

 

Sevgili haci.

Ben "gereksiz işler uzmanlığı" olarak tanımlamayı daha uygun bulurum.

Ve hem matematik hem de fizik başlığında görüldüğü gibi, gereksiz işler uzmanları yalnız değildir.

Bir gereksiz işler uzmanının sorunu olursa, hemen diğer bir gereksiz işler uzmanı yardımına koşar.

Sevgiler

 

Sana gereksiz işler uzmanı diyemem sevgili DMA. Sen bize çok gereklisin...

Ama lüks bilimsel matematik uzmanı olabilirsin.

[DreiMalAli 0]

Bir ailenin 2 çacuğu var. Çocuklardan birisinin erkek olduğu biliniyorsa, diğer çocuğun

- erkek olma olasılığı nedir?

- kız olma olasılığı nedir?

 

Sevgiler

[deadanddark 0]

1 saat önce, DreiMalAli yazdı:

Bir ailenin 2 çacuğu var. Çocuklardan birisinin erkek olduğu biliniyorsa, diğer çocuğun

- erkek olma olasılığı nedir?

- kız olma olasılığı nedir?

 

Sevgiler

 

Elimizde bir madeni para var.

Attik tura geldi,

Yine attik yine tura,

Ücüncüde tura,

Dördüncü yine tura.

Besincide ne gelecek dersen sanirim yazi gelme yüzdelik ihtimali büyüdü derim. 

Soruda ikinci cocugun kiz olma ihtimali birinci cocugun erkek olmasindan dolayi fazla olmali. 

10 üzerinden bir rakam verecek olsam 7,5 kiz.

2,5 erkek.

 

Ikinci cocuk da erkekse ücüncü cocugun kiz olma puani on üzerinden 9 derdim.

[Smile Buddha 0]

1 saat önce, DreiMalAli yazdı:

Bir ailenin 2 çacuğu var. Çocuklardan birisinin erkek olduğu biliniyorsa, diğer çocuğun

- erkek olma olasılığı nedir?

- kız olma olasılığı nedir?

 

Sevgiler

1/2 erkek

1/2 kız