Jump to content
Abdurrahman

Matematik Soruları Paylaşalım

Recommended Posts

52 dakika önce, deadanddark yazdı:

Bu soruya cevap verecek kimse yok mu?

 

Alıntı

11 - 2 = 32

1111 - 22 = 332

111111 - 222 = 3332

11111111 - 2222 = 33332

...

Bu dizi hep böyle mi devam eder?

 

Ben 11'li ifadenin 100 bin basamağı geçtiği sayılara kadar hesapladım. Çok büyük ihtimalle sonsuza kadar bu eşitlik doğrudur. İspatını yapabilen yapsın. Yaptığını söyleyenlere hemen inanmayın. Yaptıysa paylaşsın da görelim.

tarihinde John_Ahmet tarafından düzenlendi

İletiyi paylaş


Link to post
Sitelerde Paylaş
4 saat önce, John_Ahmet yazdı:

 

 

Ben 11'li ifadenin 100 bin basamağı geçtiği sayılara kadar hesapladım. Çok büyük ihtimalle sonsuza kadar bu eşitlik doğrudur. İspatını yapabilen yapsın. Yaptığını söyleyenlere hemen inanmayın. Yaptıysa paylaşsın da görelim.

 

Daha kolay bir yolu olmali diye düsünüyorum.

Tersten gitmenin bir yolu yok mu bunun?

Yoksa geometrik bir sekil , örnegin ücgen, belki daire mi kullanilabilir ispat icin. Hala bir yol yordam aramaktayim.

İletiyi paylaş


Link to post
Sitelerde Paylaş
8 saat önce, deadanddark yazdı:
On 28.06.2020 at 12:02, DreiMalAli yazdı:

11 - 2 = 32

1111 - 22 = 332

111111 - 222 = 3332

11111111 - 2222 = 33332

...

Bu dizi hep böyle mi devam eder?

 

Sevgiler

 

Bu soruya cevap verecek kimse yok mu?

  1. 1*(10)+1=(10^0)*10^1)+(10^0)
  2. 11*(100)+11=(10^0+10^1)*10^2+(10^0+10^1)
  3. 111(1000)+111=(10^0+10^1+10^2)*10^3+(10^0+10^1+10^2)
  4. 1111(10000)+1111=(10^0+10^1+10^2+10^3)*10^4+(10^0+10^1+10^2+10^3)

       n.=a*10n+a

 

  1. 2=2*(10^0)
  2. 22=2*(10^0+10^1)
  3. 222=2*(10^0+10^1+10^2)
  4. 2222=2*(10^0+10^1+10^2+10^3)

       n.2*a

 

  1. 3^2=9*(10^0)^2
  2. 33^2=9*(10^0+10^1)^2
  3. 333^2=9*(10^0+10^1+10^2)^2
  4. 333^2=9*(10^0+10^1+10^2+10^3)^2

       n.9*a2=32*a2

 

altı çizili olanlara a diyoruz.

3 numaralı olanı seçelim.

103*(a)+a-2(a)=9*(a2)

103*(a)-(a)=9*(a2)

a*(103-1)=9(a2)

(103-1)=9a

n numaralıyı seçersek

10n-1=9a

a=(100+101+102+......10n-1)=(10n-1)/9=(10n-1)/32

 

 

Böyle ispat mı olur? :)

 

 

 

  

 

 

 

 

 

tarihinde Smile Buddha tarafından düzenlendi

İletiyi paylaş


Link to post
Sitelerde Paylaş
13 saat önce, Smile Buddha yazdı:

Böyle ispat mı olur?

 

daha ne olsun. bundan iyisi samda kayisi.

Bir sayinin 5 ile carpimindan cikan sayinin son rakami hep 5 ve 0 mi olur degil mi? ama öyle iste.

indüksiyon , türev ve integral ise cok sevimsiz ve agir geliyor, ben vazgectim.

İletiyi paylaş


Link to post
Sitelerde Paylaş
On 30.06.2020 at 23:13, Smile Buddha yazdı:
  1. 1*(10)+1=(10^0)*10^1)+(10^0)
  2. 11*(100)+11=(10^0+10^1)*10^2+(10^0+10^1)
  3. 111(1000)+111=(10^0+10^1+10^2)*10^3+(10^0+10^1+10^2)
  4. 1111(10000)+1111=(10^0+10^1+10^2+10^3)*10^4+(10^0+10^1+10^2+10^3)

       n.=a*10n+a

 

  1. 2=2*(10^0)
  2. 22=2*(10^0+10^1)
  3. 222=2*(10^0+10^1+10^2)
  4. 2222=2*(10^0+10^1+10^2+10^3)

       n.2*a

 

  1. 3^2=9*(10^0)^2
  2. 33^2=9*(10^0+10^1)^2
  3. 333^2=9*(10^0+10^1+10^2)^2
  4. 333^2=9*(10^0+10^1+10^2+10^3)^2

       n.9*a2=32*a2

 

altı çizili olanlara a diyoruz.

3 numaralı olanı seçelim.

103*(a)+a-2(a)=9*(a2)

103*(a)-(a)=9*(a2)

a*(103-1)=9(a2)

(103-1)=9a

n numaralıyı seçersek

10n-1=9a

a=(100+101+102+......10n-1)=(10n-1)/9=(10n-1)/32

 

 

Böyle ispat mı olur? :)

 

Olur olur, bal gibi olur! 

(Böyle bir şarkı da vardı galiba :) )

10 üzerinden 9 puan verdim. O bir puan da matematiksel yazılımlardaki eksikliğinden dolayı kesildi.

Matematik öğretmenleri duymasın, bir kaç puan daha kesmeye kalkarlar. :)

..

Benim çözümüm de seninkinin benzeridir.

 

On 28.06.2020 at 11:02, DreiMalAli yazdı:

11 - 2 = 32

1111 - 22 = 332

111111 - 222 = 3332

11111111 - 2222 = 33332

...

Bu dizi hep böyle mi devam eder?

 

Sevgiler

 

Dizideki 2'ler terimlerindeki 2 rakamlarının sayısı 3'ler terimlerindeki 3 rakamlarının sayısına eşittir. Bu sayıya n diyelim. 1'ler terimlerindeki 1 rakamlarının sayısı ise 2n olur.

an = 10n dizisini elemanları 1 ile başlar, peşinden n tane 0 gelir.

(a1 = 101 = 10, a2 = 102 = 100, ... a5 = 105 = 100000, ...)

 bn = an - 1 = 10n - 1  dizisinin elemanlarının rakamları ise sadece 9'lardan oluşur ve bu 9'ların sayısı n'dir. (Matematiksel tümevarım metodu (induktion) ile kolayaca kanıtlanabilir)

(b1 = 101 - 1 = 10 - 1 = 9, b2 = 102 - 1 = 100 - 1 = 99, ... b5 = 105 - 1 = 100000 - 1 = 99999, ...)

 cn = bn / 9  = (10n - 1) / 9 dizisinin elemanlarının rakamları sadece 1'lerden oluşur ve bu 1'lerin sayısı n'dir.

(c1 = (101 - 1) / 9 = (10 - 1) / 9 = 9 / 9 = 1, c2 = (102 - 1) / 9 = (100 - 1) / 9 = 99 / 9 = 11, ... c5 = (105 - 1) / 9 = (100000 - 1) / 9 = 99999 / 9 = 11111, ...)

 dn = 2*bn  = 2*(10n - 1) / 9 dizisinin elemanlarının rakamları sadece 2'lerde oluşur ve bu 2'lerin sayısı n'dir.

(d1 = 2*1 = 2,  d2 = 2*11 = 22, ... d5 = 2*11111 = 22222, ...)

 en = 3*bn  = 3*(10n - 1) / 9 = (10n - 1) / 3 dizisinin elemanlarının rakamları sadece 3'lerden oluşur ve bu 3'lerin sayısı n'dir.

(e1 = 3*1 = 3,  e2 = 3*11 = 33, ... e5 = 3*11111 = 33333, ...)

(en = bn / 3 = (10n - 1) / 3 'de aynı sonucu verirdi)

 

Dizinin terimlerinin elemenalarını bu şekilde formüle ettikten sonra, sorulan soru

c2n - dn =? (en )2 midir sorusuna dönüşür.

Yani

(102n - 1)/9 - 2*(10n - 1)/9 = [(10n - 1)/3]2

eşitliği doğru mudur sorusunun cevabı isteniyordur. Bu eşitliğin doğruluğunu göstermek ise basittir. Eşitliğin sol tarafını alırız ve biraz oynarız, sağ taraftaki terimi buluruz:

(102n - 1)/9 - 2*(10n - 1)/9 = (1/9)*[(102n - 1) - 2*(10n - 1)] = (1/9)*(102n - 1 - 2*10n + 2) = (1/9)*(102n - 2*10n + 1) = (1/32)*(10n - 1)2 = [(10n - 1)/3]2

Ki bu sonuç da kanıtlamaya çalıştığımız eşitliğin sağ tarıfındaki terimdir. Eitliğin her n sayısı için geçerli olduğu matematiksel tümevarım metodu ile ayrıca kanıtlanabilir.

(Q, E, D)

 

Sevgiler

 

İletiyi paylaş


Link to post
Sitelerde Paylaş
On 01.07.2020 at 00:13, Smile Buddha yazdı:

Böyle ispat mı olur?

 

3 saat önce, DreiMalAli yazdı:

Dizideki 2'ler terimlerindeki 2 rakamlarının sayısı 3'ler terimlerindeki 3 rakamlarının sayısına eşittir. Bu sayıya n diyelim. 1'ler terimlerindeki 1 rakamlarının sayısı ise 2n olur.

an = 10n dizisini elemanları 1 ile başlar, peşinden n tane 0 gelir.

(a1 = 101 = 10, a2 = 102 = 100, ... a5 = 105 = 100000, ...)

 bn = an - 1 = 10n - 1  dizisinin elemanlarının rakamları ise sadece 9'lardan oluşur ve bu 9'ların sayısı n'dir. (Matematiksel tümevarım metodu (induktion) ile kolayaca kanıtlanabilir)

(b1 = 101 - 1 = 10 - 1 = 9, b2 = 102 - 1 = 100 - 1 = 99, ... b5 = 105 - 1 = 100000 - 1 = 99999, ...)

 cn = bn / 9  = (10n - 1) / 9 dizisinin elemanlarının rakamları sadece 1'lerden oluşur ve bu 1'lerin sayısı n'dir.

(c1 = (101 - 1) / 9 = (10 - 1) / 9 = 9 / 9 = 1, c2 = (102 - 1) / 9 = (100 - 1) / 9 = 99 / 9 = 11, ... c5 = (105 - 1) / 9 = (100000 - 1) / 9 = 99999 / 9 = 11111, ...)

 dn = 2*bn  = 2*(10n - 1) / 9 dizisinin elemanlarının rakamları sadece 2'lerde oluşur ve bu 2'lerin sayısı n'dir.

(d1 = 2*1 = 2,  d2 = 2*11 = 22, ... d5 = 2*11111 = 22222, ...)

 en = 3*bn  = 3*(10n - 1) / 9 = (10n - 1) / 3 dizisinin elemanlarının rakamları sadece 3'lerden oluşur ve bu 3'lerin sayısı n'dir.

(e1 = 3*1 = 3,  e2 = 3*11 = 33, ... e5 = 3*11111 = 33333, ...)

(en = bn / 3 = (10n - 1) / 3 'de aynı sonucu verirdi)

 

Dizinin terimlerinin elemenalarını bu şekilde formüle ettikten sonra, sorulan soru

c2n - dn =? (en )2 midir sorusuna dönüşür.

Yani

(102n - 1)/9 - 2*(10n - 1)/9 = [(10n - 1)/3]2

eşitliği doğru mudur sorusunun cevabı isteniyordur. Bu eşitliğin doğruluğunu göstermek ise basittir. Eşitliğin sol tarafını alırız ve biraz oynarız, sağ taraftaki terimi buluruz:

(102n - 1)/9 - 2*(10n - 1)/9 = (1/9)*[(102n - 1) - 2*(10n - 1)] = (1/9)*(102n - 1 - 2*10n + 2) = (1/9)*(102n - 2*10n + 1) = (1/32)*(10n - 1)2 = [(10n - 1)/3]2

Ki bu sonuç da kanıtlamaya çalıştığımız eşitliğin sağ tarıfındaki terimdir. Eitliğin her n sayısı için geçerli olduğu matematiksel tümevarım metodu ile ayrıca kanıtlanabilir.

(Q, E, D)

 

On 01.07.2020 at 00:13, Smile Buddha yazdı:
  1. 1*(10)+1=(10^0)*10^1)+(10^0)
  2. 11*(100)+11=(10^0+10^1)*10^2+(10^0+10^1)
  3. 111(1000)+111=(10^0+10^1+10^2)*10^3+(10^0+10^1+10^2)
  4. 1111(10000)+1111=(10^0+10^1+10^2+10^3)*10^4+(10^0+10^1+10^2+10^3)

       n.=a*10n+a

 

  1. 2=2*(10^0)
  2. 22=2*(10^0+10^1)
  3. 222=2*(10^0+10^1+10^2)
  4. 2222=2*(10^0+10^1+10^2+10^3)

       n.2*a

 

  1. 3^2=9*(10^0)^2
  2. 33^2=9*(10^0+10^1)^2
  3. 333^2=9*(10^0+10^1+10^2)^2
  4. 333^2=9*(10^0+10^1+10^2+10^3)^2

       n.9*a2=32*a2

 

altı çizili olanlara a diyoruz.

3 numaralı olanı seçelim.

103*(a)+a-2(a)=9*(a2)

103*(a)-(a)=9*(a2)

a*(103-1)=9(a2)

(103-1)=9a

n numaralıyı seçersek

10n-1=9a

a=(100+101+102+......10n-1)=(10n-1)/9=(10n-1)/32

 

 

Böyle ispat mı olur? :)

 

@Smile Buddha'nın yaptığı ispat çok daha anlaşılır ve doğrudan amaca yönelik olduğu için kendi alanının matematik olmadığı da göz önünde bulundurulursa programlama destekli ispat konusunda çok profesyonel olmasa bile bu konudaki başarısı ortalamanın üzerindedir ve bence 10 üzerinden 10 puanı hak ediyor. Kendisini tebrik ederim. Paylaşılan ve ispat olduğu öne sürülen diğer karalama ise kesinlikle ispat değildir.

İletiyi paylaş


Link to post
Sitelerde Paylaş
On 05.07.2020 at 16:42, DreiMalAli yazdı:

3*logx(7) - log7(x) = 2

denklemini çözen x'in değerleri nelerdir?

 

Sevgiler

 

Cevap gelmemiş hiç ben yazayım logx(7) ye a dersek log7(x) 1/a olur oradan 2. Derece denklem gelir köklerden logx(7) = 1 veya -1/3 geliyor.

 

x ise 1 veya 2.91x10^-3 yada yaklaşık 0.003 geliyor.

İletiyi paylaş


Link to post
Sitelerde Paylaş
On 05.07.2020 at 16:42, DreiMalAli yazdı:

3*logx(7) -log7(x) = 2

denklemini çözen x'in değerleri nelerdir?

 

Sevgiler

logx(7)=log10(7)/log10(x)=ln(7)/ln(x)

log7(x)=log10(x)/log10(7)=ln(x)/ln(7)

 

3*ln(7)/ln(x) - ln(x)/ln(7) =2

a=ln(7)/ln(x) olursa

1/a=ln(x)/ln(7) olur.

3*a-1/a=2

 

3*a2-2*a-1=0

diskriminant1.png

 

bu formüle göre köklerini bulursak

a1=-1/3

a2=1    

 

ln(7)/ln(x)=-1/3

x1=0,002915451895

ln(7)/ln(x)=1

x2=7

 

 

kağıtta çözmeye çalışınca çok yer kaplıyor. :)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

İletiyi paylaş


Link to post
Sitelerde Paylaş

Hem @Sütlü Kase'nin hem de @Smile Buddha'nın cevapları doğrudur.

Denklem 2. dereceden bir denkleme dönüştürüldüğünden x için 2 değer bulunuyor.

x1 = 7

ve

x2 = 1 / (3√7)

 

İlginçdir; eğer denklem

logx(a) - loga(x) = 1

şeklinde olsaydı, logx(a) teriminin mutlak değeri ve de loga(x) teriminin mutlak değeri Altın Oran sayısını verecekti, hem de a'nın değerinden bağımsız.

 

Sevgiler

İletiyi paylaş


Link to post
Sitelerde Paylaş

Tartışmaya katıl

You can post now and register later. If you have an account, sign in now to post with your account.

Misafir
Bu konuyu yanıtla

×   Yapıştırdığınız içerik biçimlendirme içeriyor.   Biçimlendirmeyi Temizle

  Only 75 emoji are allowed.

×   Your link has been automatically embedded.   Display as a link instead

×   Your previous content has been restored.   Clear editor

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.

Yükleniyor ...

  • Konuyu Görüntüleyenler   0 kullanıcı

    Sayfayı görüntüleyen kayıtlı kullanıcı bulunmuyor.

×
×
  • Yeni Oluştur...