Jump to content
Abdurrahman

Matematik Soruları Paylaşalım

Recommended Posts

benim soru güme gitmesin.sona alalım:

a>b >0 verilsin.( a ve b positive tam sayılar) ne dedik? q ve r tam sayıları var öyleki a=qb+r ve 0=< r <b.

bir adım sonra : q1 ve r1 var öyleki b=q1*r + r1 ve 0=<r1<r

göstermemiz gereken:

1. bu bölme işlemlerini devam ettirirsek bir zaman sonra artan sıfır olur mu?

2.bu yöntemle a ve b nin en büyük ortak bölenini bulabilir miyiz?

3.(a , b ) yi bu yöntemle bulmak için en fazla kaç bölme yaparız? yani bölme sayısının üst sınırı nedir?

İletiyi paylaş


Link to post
Sitelerde Paylaş

Sevgili convert.

Hep sormayı unutuyorum: Sınav nasıl geçti.

Sayılar Teorisi ile aran iyi olduğu için de aklıma takıldı: Acaba sınava talebe olarak mı girdi yoksa hoca olarak mı? :D

(Cevap vermek zorunda değilsin tabi.)

Mümkünse konuları lise seviyesinde tutalım. Aksi takdirde başlıklara bir-iki kişi arasında paslaşma halini alıyor.

(İlgi azaldığına göre, muhtemelen geometri soruları konusunda ben de hata yapıp zorlayıcı sorular sordum. :()

Bence konunun kullanım alanları ile örnekler daha çok ilgi çeker.

Soruya gelince:

Verdiğin yöntem Öklit (Euklid) Algoritması olarak biliniyor. Daha doğrusu Öklid Algoritmasının biraz genelleştirilmiş hali.

En büyük ortak böleni bulmak için en kolay yöntem. SAyılar teorisinde önemli bir yeri olduğunu da belirteyim.

1. bu bölme işlemlerini devam ettirirsek bir zaman sonra artan sıfır olur mu?

Evet!

Her bölme sonucu "kalan", "bir önceki kalan"dan daha küçük olacağı için

b > r > r1 > r2 > ... > r(n-1) > rn

dizisi devamlı azalan bir doğal sayı dizisi. Nihayetinde son "kalan" sıfır olmak zorunda.

2.bu yöntemle a ve b nin en büyük ortak bölenini bulabilir miyiz?

En büyük ortak böleni bulmanın en kolay yoludur. :)

3.(a , b ) yi bu yöntemle bulmak için en fazla kaç bölme yaparız? yani bölme sayısının üst sınırı nedir?

Her bölme işleminde en az 2 ile bölüneceğinden 2 ve 2'nin katları ile ilgili bir üst sınır konulabilir.

Ama daha iyi bir üst sınır için:

a > b olduğundan, en çok b'nin rakamları sayısının 5 katı kadar bölme işlemi yapmak gerekir. (Gabriel Lame Teoremi)

Mesela b 2 rakamlı bir sayı ise (56, 79 vs. gibi) en çok 2 * 5 = 10 bölme işlemi gerekiyor.

Bölme işlemini yazıp sondan başlayarak en kötü ihtimalleri göz önüne alan eşitsizlikler kurulduğunda Fibonacci Sayı Dizisi elde ederiz. Bundan sonraki gidiş yolu biraz fantazi gerektiriyor. Ama güzel ve ilginç.

Sevgiler

İletiyi paylaş


Link to post
Sitelerde Paylaş
hoca olarak.bu saatte öğrencilik mi kalır.

Yeni yeni anlıyorum, Neden hocalarımla aram iyi değildi. diye: Demekki hep başımı ağrıtmışlar zamanında.

:D

Sevgiler

Edit:

Şakaydı tabi.

İyi ki zamanında başım ağrımış. Yoksa perşembe günü teslim ettiğim "beşgen hareketli paketleme" işinin içinden nasıl çıkardım.

:D

İletiyi paylaş


Link to post
Sitelerde Paylaş

Uzun yıllar tren raylarının tamiri, bakımı... için çalışanların garip bir yürüme tarzı vardır: Birinci adımları kısa, ikinci adımları uzundur.

Nedeni ise rayların altına konulan kalaslar arasındaki uzaklık olsa gerek. Birinci kalasla ikinci kalas arası uzaklık normal bir adım için az, birinci kalasla üçüncü kalas arası uzaklık normal bir adım için fazla.

Bir çekirge A (= sıfır metre) noktasında olsun. Bu çekirge ya 3 m sıçrıyor ya da 5 m.

Bu sıçrama tarzı ile B (=11 metre) noktasına erişmesi için bir çok şekilde mümkün.

post-8-1220008174_thumb.jpg

Mesela:

0 ---> 3 (3 metrelik bir sıçrayış)

3 ---> 6 (3 metrelik bir sıçrayış)

6 ---> 11 (5 metrelik bir sıçrayış)

Veya:

0 ---> 5 (5 metrelik bir sıçrayış)

5 ---> 10 (5 metrelik bir sıçrayış)

10 ---> 13 (3 metrelik bir sıçrayış)

13 ---> 16 (3 metrelik bir sıçrayış)

16 ---> 11 (5 metrelik bir sıçrayış)

Ve bu sıçrama tarzı ile çekirge verilen her uzaklığa erişebilir.

Peki:

1.

Çekirge sadece 3 ve 6 metrelik sıçramalar yapsaydı... A (= sıfır metre) noktasından 15. metreye erişebilir miydi? Erişebilirse... Nasıl erişirdi?

2.

Çekirge sadece 3 ve 6 metrelik sıçramalar yapsaydı... A (= sıfır metre) noktasından 25. metreye erişebilir miydi? Erişebilirse... Nasıl erişirdi?

3.

Çekirgenin verilen bir noktaya (=uzaklığa) erişebilmesi şartı nedir?

Sevgiler

İletiyi paylaş


Link to post
Sitelerde Paylaş

post-8-1220009059_thumb.jpg

Şekildeki direler birbirine girmiş dişliler olsun. Bu dişlilerin şu anda birbirine değdiği noktaları işaretleyelim ( = şekildeki oklar).

Ve dişlileri döndürelim.

1.

Küçük dişlinin diş sayısıs 8 ve büyük dişlinin diş sayısı 28 ise.

Küçük dişli kaç sefer döndükden sonra bu oklar yine aynı konuma gelirler? Bu süre içinde büyük dişli kaç sefer dönmüş olur.

2.

Küçük dişlinin diş sayısı bilinmiyor. Büyük dişlinin diş sayısı 37 olsun.

Küçük dişli kaç sefer döndükden sonra bu oklar yine aynı konuma gelirler? Bu süre içinde büyük dişli kaç sefer dönmüş olur.

Sevgiler

İletiyi paylaş


Link to post
Sitelerde Paylaş
post-8-1220009059_thumb.jpg

Şekildeki direler birbirine girmiş dişliler olsun. Bu dişlilerin şu anda birbirine değdiği noktaları işaretleyelim ( = şekildeki oklar).

Ve dişlileri döndürelim.

1.

Küçük dişlinin diş sayısıs 8 ve büyük dişlinin diş sayısı 28 ise.

Küçük dişli kaç sefer döndükden sonra bu oklar yine aynı konuma gelirler? Bu süre içinde büyük dişli kaç sefer dönmüş olur.

Küçük dişli diş sayısı =8

Büyük dişli diş sayısı=28

Küçük dişli tur sayısı=28/8=3.5

Büyük dişli tur sayısı =1

2.

Küçük dişlinin diş sayısı bilinmiyor. Büyük dişlinin diş sayısı 37 olsun.

Küçük dişli kaç sefer döndükden sonra bu oklar yine aynı konuma gelirler? Bu süre içinde büyük dişli kaç sefer dönmüş olur.

Küçük dişli diş sayısı =x

Büyük dişli diş sayısı= 37

Küçük dişli tur sayısı=37/x

Büyük dişli tur sayısı =1

Sevgiler

İletiyi paylaş


Link to post
Sitelerde Paylaş

Sevgili mechanic.

Soruyu yanlış anladın galiba. Ya da ben yanlış ifade ettim.

Şöyle bir açıklama yapayım:

Oklar dişlilerin üzerinde sabit duruyorlar. Yani dişlilerle birlikde dönüyorlar.

Başlangıç konumunda okların uçları birbirine bakıyor.

Küçük ve büyük dişli kaç sefer döndükden sonra okların uçları yine ve ilk olarak birbirine bakar duruma gelir?

Senin verdiğin çözümde ise, büyük dişlinin üzerindeki okun ucu başlangıç konumuna gelmiş durumda. Ama ya küçük dişlinin üzerindeki ok...?

Not:

Yazmayı unutmuşum. Birinci soru (çekirge sorusu :) ) sevgili convert'in konusuna örnek. EBOB'in kullanma alanı da diyebiliriz. Tabi bu çekirge sıçraması olabileceği gibi, Öklid'in Elementler kitabındaki örnek de olabilirdi: Öklid, uzunlukları eşit olmayan 2 tane "metre" ile bir uzaklığı ölçmek örneğini veriyor Elementler 7'de

EBOB'nin bir de küçük kardeşi vardı değil mi? :D İkinci soru da (dişliler sorusu) işte o küçük kardeşin kullanma alanına örnek.

Sevgiler

İletiyi paylaş


Link to post
Sitelerde Paylaş

Evet yanlış anladım.Düzeltecektim forumdan düşmüşüm.:)

Küçük dişli tur sayısı=28/8=3.5 * 2 =7 tur

Büyük dişli tur sayısı =1 * 2 = 2 tur

Küçük dişli tur sayısı=(37/X) * X = 37 tur

Büyük dişli tur sayısı =(1 * X)= X tur

İletiyi paylaş


Link to post
Sitelerde Paylaş
Sevgili mechanic.

Verdiğin sayılar doğru. Tebrikler.

Ama nasıl yaptığını açıklamak istermisin.

Biz de bir şeyler öğrenmiş oluruz.

Sevgiler

Cevap çok fazla deneysel.

1.) EKOK(8 , 28)/8=56/8=7 küçük dişlinin dönme sayısı.56/28=2 büyük dişlinin dönme sayısı.

2.) Aynı yöntemle küçük dişlinin diş sayısı x olursa EKOK( x , 37 ) =37x olur. Çünkü 37 asal bir sayı. Bu durumda 37x/x=37 küçük dişlinin dönme sayısı. 37x/37=x büyük dişlinin dönme sayısı.

İletiyi paylaş


Link to post
Sitelerde Paylaş
1.Çekirge sadece 3 ve 6 metrelik sıçramalar yapsaydı... A (= sıfır metre) noktasından 15. metreye erişebilir miydi? Erişebilirse... Nasıl erişirdi?

2.Çekirge sadece 3 ve 6 metrelik sıçramalar yapsaydı... A (= sıfır metre) noktasından 25. metreye erişebilir miydi? Erişebilirse... Nasıl erişirdi?

3.Çekirgenin verilen bir noktaya (=uzaklığa) erişebilmesi şartı nedir?

1.) 6+6+3=15 demekki mümkün.

2.)EBOB(3 , 6 )=3 ve 3 , 25'i bölmüyor. mümkün değil.

3.)Çekirge a1, a2 ,..., ak kadar sıçramalar yapsa ve e=EBOB(a1,a2,...,ak) olsa e sayısının n ' yi bölmesi halinde ( n=ray uzunluğu ) mümkün.

Farzedelim e=x1*a1+x2*a2+...+xk*ak olsun. e n'yi bölerse n=e*x olacak şekilde x bulunur. bu durumda x*x1 defa a1 uzunluğunda sıçrama , x*x2 defa a2 uzunluğunda sıçrama ,...., x*xk defa ak uzunluğunda sıçrama yapılırsa iş biter.Burada şunu belirtmeli.x*xi sayısı negatif olabilir.Bu geriye doğru sıçrama olarak algılanmalı.

tarihinde convert tarafından düzenlendi

İletiyi paylaş


Link to post
Sitelerde Paylaş
1.Çekirge sadece 3 ve 6 metrelik sıçramalar yapsaydı... A (= sıfır metre) noktasından 15. metreye erişebilir miydi? Erişebilirse... Nasıl erişirdi?

2.Çekirge sadece 3 ve 6 metrelik sıçramalar yapsaydı... A (= sıfır metre) noktasından 25. metreye erişebilir miydi? Erişebilirse... Nasıl erişirdi?

3.Çekirgenin verilen bir noktaya (=uzaklığa) erişebilmesi şartı nedir?

3.Çekirge zıplamalarına a ve b gidecekleri mesafeyede c diyelim.

( c+a ),( c+b ),( c-a ),( c-b ) sayıları a ve b sayılarından herhangi birine kalansız olarak bölünebilmeli

Matematiğin dilini öğrenemedim bir türlü.:)

1.

15+3=18

15+6=21

15-3= 12

15-6=9

Hepsi 3'e bölünüyor.

2.

25+3=28

25+6=31

25-2=22

25-6=19

Hiçbiri 3'e ve 6'ya bölünmedi.Gidebilmesi imkansız..

tarihinde mechanic tarafından düzenlendi

İletiyi paylaş


Link to post
Sitelerde Paylaş

Ben bi soru sorayım:

a ve b birer tam sayı olsun. en az biri sıfırdan farklı. e a ve b nin en büyük ortak böleni olsun. Göstermeniz gereken: x ve y tamsayıları bulunur ki x*a+y*b=e olur. e>0 olacak.

İletiyi paylaş


Link to post
Sitelerde Paylaş

Tartışmaya katıl

You can post now and register later. If you have an account, sign in now to post with your account.

Misafir
Bu konuyu yanıtla

×   Yapıştırdığınız içerik biçimlendirme içeriyor.   Biçimlendirmeyi Temizle

  Only 75 emoji are allowed.

×   Your link has been automatically embedded.   Display as a link instead

×   Your previous content has been restored.   Clear editor

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.

Yükleniyor ...

  • Konuyu Görüntüleyenler   0 kullanıcı

    Sayfayı görüntüleyen kayıtlı kullanıcı bulunmuyor.

×
×
  • Yeni Oluştur...