Jump to content
Ateistforum

Geometri sevenler


Recommended Posts

Sorunun orijinalinde ABE üçgeni bir eşkenar üçgen ve ABCD bir kare. Yani BE = BC. -----> BFE üçgeni ile BCG üçgeni birbirlerine eşit iki ikizkenar üçgen: BF = BG.

Böylece BFG üçgeninin bir ikizkenar üçgen olduğu belirlendi.

BFG üçgeninde FBG = FBA + ABD = 15 + 45 = 60 derece.

(FBA açısı ABE eşkenar üçgeninde 60 - 45 = 15 derece. ABD açısı = 45 derece. Çünkü BD ABCD karesinde bir köşegen.)

-----> BFG üçgeni sadece ikizkenar değil aynı zamanda eşkenar üçgen belirlenmmiş oldu. BF, FG ve GB BFG üçgeninin kenarları olduğundan BF = FG = GB.

Sevgiler

Link to post
Sitelerde Paylaş
  • İleti 195
  • Created
  • Son yanıt

Top Posters In This Topic

(Üçgen tabanlı bir piramidin bir köşesinde 3 kenar bir noktada kesişir ve 3 tane açı oluşturular. )

Üçgen tabanlı bir piramidin karşı kenarları birbirine eşitse, her köşedeki 3 açının toplamı 180 derecedir.

(Soruyu formüle ederken zorlandım. Umarım anlaşılır olmuştur)

Sevgiler

İp ucu:

post-8-1218974021_thumb.jpg

ABCD piramitinde AD = BC, BD = AC ve CD = AB.

D noktasındaki üç açının toplamını bulmak için DAB (DBC, DCA) üçgenini AB (BC, CA) ekseni etrafında çevirerek ABC düzlemi üzerine yatırın.

Sevgiler

Link to post
Sitelerde Paylaş
Sorunun orijinalinde ABE üçgeni bir eşkenar üçgen ve ABCD bir kare. Yani BE = BC. -----> BFE üçgeni ile BCG üçgeni birbirlerine eşit iki ikizkenar üçgen: BF = BG.

Böylece BFG üçgeninin bir ikizkenar üçgen olduğu belirlendi.

BFG üçgeninde FBG = FBA + ABD = 15 + 45 = 60 derece.

(FBA açısı ABE eşkenar üçgeninde 60 - 45 = 15 derece. ABD açısı = 45 derece. Çünkü BD ABCD karesinde bir köşegen.)

ve... tepe acisi 60 derece olan bir ikizkenar ucgen ayni zamanda bir eskenar ucgen oldugundan....

-----> BFG üçgeni sadece ikizkenar değil aynı zamanda eşkenar üçgen belirlenmmiş oldu. BF, FG ve GB BFG üçgeninin kenarları olduğundan BF = FG = GB.

Sevgiler

Iste thecrow'un bekledigi guzel cozum. Tebrikler DreiMalAli. :)

Link to post
Sitelerde Paylaş

Arkadaşlar zaten elinize bir açıölçer ya da trigonometrik hesaplar yapabilen bir hesap makinesi aldığınız zaman açı-kenar sorularının bir değeri kalmıyor. İşin zevkli ve estetik kısmı benim daha çok hoşuma gidiyor. Nasıl ki bir yanınızda ansiklopediler, diğer yanınızda internet kare bulmaca çözmüyorsanız ben de geometriyi bu biçimde çözmeyi daha çok seviyorum. :)

Bu tip sorularda üçgenleri ya da diğer çokgenleri taşımanın yanısıra, çokgenleri istenen açılarda çıkarılan uzunluklarla ya da istenen ebatlarda bölmek, fazladan uzunluklar eklemek, 30-45-60-90 gibi anlamlı açılara dair ipuçları aramak, bulamayınca kendi başımıza bunları yaratmak da işe yarar. 15-75-90 üçgenine yabancı biri için bu üçgen anlamsızdır ama tek bir çizgiyle biri ikizkenar diğeri bir 30-60-90 üçgeni olan iki anlamlı üçgen elde ediverir. Mühim olan az önceki soruda 45 ve 15 açılarında olduğu gibi bu açıları birbirinden bağımsız değerlendirmeyip bu açılarla neler elde edebileceğimize bakmak.

Link to post
Sitelerde Paylaş
  • 1 month later...

http://img406.imageshack.us/my.php?image=sorull8.jpg

Bi' yardım şeedecektim... :wub:

tarihinde Marxist tarafından düzenlendi
Link to post
Sitelerde Paylaş

onun öss sorusu olduğu belli. Ancak bu soruyu çözmek web'de arayıp bulmaktan daha kolay olacak :}

açıları yerleştirdikten sonra soldaki küçük üçgen ile, bütün büyük üçgen benzer çıkıyor. sonra büyük kenar ile küçük kenarları oranlayınca çıkıyor.

(p+k)/k = k/p

p2+k.p = k2

k.p = k2 -p2

post-1040-1221972455_thumb.jpg

Link to post
Sitelerde Paylaş
  • 11 years later...
  • 2 months later...

@deadanddark'ın metodundan esinlenerer... Üçgen içinde bir kaç çizgi çek, iki eşit açı oluştur ve...

Bu sefer bir daire içinde bir kaç çizgi çektim... :)

...

R yarıçaplı bir dairenin AB çapı üzerinde herhangi bir C noktası alıyoruz ve şekillerdeki gibi bir köşesi çember üzerinde olan ACD ve BCE ikizkenar üçgenleri oluşturuyoruz.

(Umarım ikizkenar üçgenlerin nasıl çizildiği şekillerden anlaşılıyordur)

α ve β açıları arasındaki bağlantı çemberin yarıçapından ve C noktasının konumundan bağımsızdır:

1. ve 2. şekillerde

cos(2α) + cos(2β) = -1

ve

3. ve 4. şekillerde

α = β

 

 

Sevgiler

 

 

G1.jpg.ea40bac908b4e6f26ed27a95ca7f24ff.jpgG2.jpg.4315716bca7e80d64be86c5a5199e803.jpgG3.jpg.acf6d48161c92860843533925a5762a3.jpgG4.jpg.e731a27848e501707114a2749341789a.jpg

Link to post
Sitelerde Paylaş
  • 3 months later...

951333058_KontanteSummederQuadrate12.thumb.png.25057039d0c49a2e3a8283d75d0e466c.png

 

C noktası AB'nin ortasıdır. C merkezli bir çember çiziyoruz. Çemberin üzerinde herhangi bir D noktasını A ve B ile birleştiriyoruz (DA ve DB). Kenar uzunluğu DA ve DB olan karelerin alanları A1 ve A2 ise

alanların toplamı A1 + A2 sabittir ve D'nin konumundan bağımsızdır.

A1 + A2 = ?

 

Sevgiler

Link to post
Sitelerde Paylaş
2 saat önce, DreiMalAli yazdı:

951333058_KontanteSummederQuadrate12.thumb.png.25057039d0c49a2e3a8283d75d0e466c.png

 

C noktası AB'nin ortasıdır. C merkezli bir çember çiziyoruz. Çemberin üzerinde herhangi bir D noktasını A ve B ile birleştiriyoruz (DA ve DB). Kenar uzunluğu DA ve DB olan karelerin alanları A1 ve A2 ise

alanların toplamı A1 + A2 sabittir ve D'nin konumundan bağımsızdır.

A1 + A2 = ?

 

Sevgiler

D noktasını A veya B noktası üzerine getirirsek  A1 + A2 =|AB| oluyor.

Link to post
Sitelerde Paylaş
16 saat önce, husnu yazdı:

D noktasını A veya B noktası üzerine getirirsek  A1 + A2 =|AB| oluyor.

 

Bu eşitlik özel bir durum için doğru olsa da geçerliliği genel değildir. Eşitliğin doğru olduğu özel durum ise, dairenin yarıçapı R AB uzunluğunun yarısı olduğu durumdur (R = AB/2 ).

 

1412414686_KontanteSummederQuadrate4.thumb.png.df2c397df6c6c1c391bfebdd1b4d463f.png

 

Sevgiler

Link to post
Sitelerde Paylaş
On 28.12.2020 at 21:21, DreiMalAli yazdı:

951333058_KontanteSummederQuadrate12.thumb.png.25057039d0c49a2e3a8283d75d0e466c.png

 

C noktası AB'nin ortasıdır. C merkezli bir çember çiziyoruz. Çemberin üzerinde herhangi bir D noktasını A ve B ile birleştiriyoruz (DA ve DB). Kenar uzunluğu DA ve DB olan karelerin alanları A1 ve A2 ise

alanların toplamı A1 + A2 sabittir ve D'nin konumundan bağımsızdır.

A1 + A2 = ?

 

Sevgiler

 

Sevgili DreiMalAli,

 

Matematik konuşmayalı, hatta konuşmayalı uzun zaman oldu :)

Şansımızı deneyelim, önce birkaç varsayım:

1)ACB doğru parçasını x ekseni olarak almakta bir sakınca yoktur, çünkü istenen durumda D'nin konumunun çember üzerinde değişebileceği söyleniyor. D'yi değiştirmekle o doğruyu C etrafında döndürmek arasında bir fark yok, işlem kolaylığı için x ekseni olarak seçiyoruz.

2)Çemberin yarıçapı r'dir.

3)Eğer BCD doğrusu çizilirse, bu doğrunun ACB ile yaptığı açı a'dır.

Bunlardan hareketle, noktaların koordinatları şunlardır: A(x1,0)  B(x2,0) C(0,0) D(rcos(a),rsin(a))

A1'in bir kenarı m ise, pisagor teoreminden m2 = rsin(a)2 + (rcos(a)-x1)bulunur. Aynı işlem A2'nin kenarı için de yapılır. A1+A2=m2 + n2 'dir. Hesaplamalar yapıldığında bu değer 2r2 - 2rcos(a)(x1+x2)+x12 + x22 bulunur.

D noktasının konumunun önemsiz olması için, bu denklemin her a için doğru olması gerekir. Yani a'nın katsayısı 0 olmalı, dolayısıyla: x1 = -x2 bulunur. Yani A ve B noktaları çember merkezinden eşit ve k kadar uzakta iseler A1+A2 = 2r2 + 2k2 ile bulunabilir.

 

Buradan hareketle, k = 0 seçilir ise birbirine tek kenarından yapışık, bir kenarı r olan iki kare elde ederiz ki alan toplamları 2r2 olur.

Eğer A ve B'yi çemberin üzerinde seçersek k=r'den seçersek alan toplamları 4r2 eder, zaten çember üzerinden seçilen ve çapı gören her açı 90 derecedir ve karesi 4r2 eder.

 

Muhakkak daha güzel ispatlar vardır.

 

Sevgiler

Link to post
Sitelerde Paylaş
7 saat önce, DreiMalAli yazdı:

 

Bu eşitlik özel bir durum için doğru olsa da geçerliliği genel değildir. Eşitliğin doğru olduğu özel durum ise, dairenin yarıçapı R AB uzunluğunun yarısı olduğu durumdur (R = AB/2 ).

 

1412414686_KontanteSummederQuadrate4.thumb.png.df2c397df6c6c1c391bfebdd1b4d463f.png

 

Sevgiler

https://tr.wikipedia.org/wiki/Kosin%C3%BCs_teoremi

 

 C2=A2+B2-2*A*B.cos(a)


cos(a) çekip çıkaramadığım için istediğin eşitliği yazamadım.:)

Link to post
Sitelerde Paylaş
On 28.12.2020 at 21:21, DreiMalAli yazdı:

951333058_KontanteSummederQuadrate12.thumb.png.25057039d0c49a2e3a8283d75d0e466c.png

 

C noktası AB'nin ortasıdır. C merkezli bir çember çiziyoruz. Çemberin üzerinde herhangi bir D noktasını A ve B ile birleştiriyoruz (DA ve DB). Kenar uzunluğu DA ve DB olan karelerin alanları A1 ve A2 ise

alanların toplamı A1 + A2 sabittir ve D'nin konumundan bağımsızdır.

A1 + A2 = ?

 

Sevgiler

 

Bir çözüm daha bırakalım.

ABC'yi x ekseni olarak alalım. A(x1,0) , B(x2,0) ve D(x,y) ise A1'in bir kenarının karesi(aynı zamanda alanı) a^2 = (x-x1)^2 + y^2 ve b^2 = (x2-x)^2 + y^2'dir. İki değer toplanırsa ve açılımlar yapılırsa(aynı zamanda x^2+y^2 = r^2):

a^2 + b^2 = 2*r^2 + x2^2 - x1^2 - 2x(x1+x2) bulunur. Sol taraf sabit dedik, sağ tarafta da x1 ve x2 değerleri seçildikten sonra x ve y'nin sürekli değişebileceğini bildiğimize göre, sağın da sabit olması için (x1+x2) değeri 0 olmalıdır. Yani x1 = -x2 bulunur.

Link to post
Sitelerde Paylaş
11 saat önce, Bir Buçuk yazdı:

 

Sevgili DreiMalAli,

 

Matematik konuşmayalı, hatta konuşmayalı uzun zaman oldu :)

Şansımızı deneyelim, önce birkaç varsayım:

1)ACB doğru parçasını x ekseni olarak almakta bir sakınca yoktur, çünkü istenen durumda D'nin konumunun çember üzerinde değişebileceği söyleniyor. D'yi değiştirmekle o doğruyu C etrafında döndürmek arasında bir fark yok, işlem kolaylığı için x ekseni olarak seçiyoruz.

2)Çemberin yarıçapı r'dir.

3)Eğer BCD doğrusu çizilirse, bu doğrunun ACB ile yaptığı açı a'dır.

Bunlardan hareketle, noktaların koordinatları şunlardır: A(x1,0)  B(x2,0) C(0,0) D(rcos(a),rsin(a))

A1'in bir kenarı m ise, pisagor teoreminden m2 = rsin(a)2 + (rcos(a)-x1)bulunur. Aynı işlem A2'nin kenarı için de yapılır. A1+A2=m2 + n2 'dir. Hesaplamalar yapıldığında bu değer 2r2 - 2rcos(a)(x1+x2)+x12 + x22 bulunur.

D noktasının konumunun önemsiz olması için, bu denklemin her a için doğru olması gerekir. Yani a'nın katsayısı 0 olmalı, dolayısıyla: x1 = -x2 bulunur. Yani A ve B noktaları çember merkezinden eşit ve k kadar uzakta iseler A1+A2 = 2r2 + 2k2 ile bulunabilir.

 

Buradan hareketle, k = 0 seçilir ise birbirine tek kenarından yapışık, bir kenarı r olan iki kare elde ederiz ki alan toplamları 2r2 olur.

Eğer A ve B'yi çemberin üzerinde seçersek k=r'den seçersek alan toplamları 4r2 eder, zaten çember üzerinden seçilen ve çapı gören her açı 90 derecedir ve karesi 4r2 eder.

 

Muhakkak daha güzel ispatlar vardır.

 

Sevgiler

 

Sevgili Bir Buçuk.

 

Sonucun doğru. Belki ben yanluş ifade etmişimdir. Soruda zaten C noktası AB'nin ortasıdır diye vermiştim.

Yani |AC| = |CB|'dir. Veya senin deyiminle |x1| = |x2| = k'dır ve k sabittir. r'in sabit olduğunu da göz önüne alıp toplam olarak söylersek

A1+A2 = 2r2 + 2k2 = 2*(r2 + k2) eşitliği sabit bir değer verir.

 

Sevgiler

Link to post
Sitelerde Paylaş
11 saat önce, husnu yazdı:

https://tr.wikipedia.org/wiki/Kosin%C3%BCs_teoremi

 

 C2=A2+B2-2*A*B.cos(a)


cos(a) çekip çıkaramadığım için istediğin eşitliği yazamadım.:)

 

Sevgili husnu.

 

Doğru yoldasın ve bence en basit yöntemi uyguluyorsun.

Cosinus teoremindeki a açısını çekip çıkarmana gerek yok.

DCA üçgeninde DCA açısına a dersen, DCB üçgenindeki DCB açısı b olur ve b = 180 - a'dır.

Her iki üçgende cosinüs teoremini uygula ve topla!

(Cos(a), cos(180-a)'yı hiç semez, düşmanıdır, gördüğü yerde hemen ... :) )

 

Sevgiler

 

Link to post
Sitelerde Paylaş

Tartışmaya katıl

You can post now and register later. If you have an account, sign in now to post with your account.

Misafir
Bu konuyu yanıtla

×   Yapıştırdığınız içerik biçimlendirme içeriyor.   Biçimlendirmeyi Temizle

  Only 75 emoji are allowed.

×   Your link has been automatically embedded.   Display as a link instead

×   Your previous content has been restored.   Clear editor

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.

Yükleniyor ...
  • Konuyu Görüntüleyenler   0 kullanıcı

    Sayfayı görüntüleyen kayıtlı kullanıcı bulunmuyor.


×
×
  • Yeni Oluştur...